Funzione di perdita della banca centrale

$$L_t = \gamma(\pi_t - \pi_t^\otimes)^2 + \hat{Y}_t^2$$

La funzione di perdita delle banche centrali è data dall'equazione sopra. Questa perdita è in aumento e convessa nella distanza dall'obiettivo di inflazione, ovvero la perdita marginale aumenta a un ritmo più rapido rispetto all'aumento della distanza dall'obiettivo.

$\pi_t^\otimes$

È difficile per me vedere come le diverse ellissi siano curve di indifferenza o convesse nella differenza dal bersaglio ?. Qualsiasi spiegazione sarebbe di grande aiuto.

Il modo intuitivo

$L_t$$\gamma = 0.8$$\pi_t^\otimes = 1$

$L_t$

Il modo formale

$p_t = \pi_t - \pi_t^\otimes$

$$L_t(p_t, Y_t) = \gamma p_t^2 + Y_t^2 \tag{B1}$$

$\gamma > 0$$L_t(p_t, Y_t) \ge 0$$(p_{t,1},Y_{t,1})$$(p_{t,2},Y_{t,2})$

$$L_t(t p_{t,1} + (1 - t)p_{t,2}, t Y_1 + (1 - t)Y_{t,2}) < tL_t(p_{t,1}, Y_t) + (1 -t)L_t(p_{t,2}, Y_{t,2}) \tag{B2}$$

$0 < t < 1$

$$\begin{eqnarray} L_t(t p_{t,1} + (1 - t)p_{t,2}, t Y_1 + (1 - t)Y_{t,2}) &=& \gamma[t p_{t,1} + (1 - t)p_{t,2}]^2 + (t Y_1 + (1 - t)Y_{t,2})^2 \\ &\vdots & \\ &=& t [\gamma p_{t,1}^2 + Y_{t,1}^2] + (1 - t) [\gamma p_{t,2}^2 + Y_{t,2}^2] \\ &&\quad + t(1 - t) [\gamma(p_{t,1} - p_{t,2})^2 + (Y_{t,1} - Y_{t,2})^2] \\ &=& tL_t(p_{t,1}, Y_t) + (1 -t)L_t(p_{t,2}, Y_{t,2}) \\ &&\quad \underbrace{t(1 - t)L_t(p_{t,1} - p _{t_2}, Y_{t,1} - Y_{t,2})}_{> 0} \\ &< & tL_t(p_{t,1}, Y_t) + (1 -t)L_t(p_{t,2}, Y_{t,2}) \tag{B3} \end{eqnarray}$$

$L_t$$L_t$$A > 0$

$$A = \gamma p_t^2+ Y_t^2 ~~\Rightarrow~~ \frac{p_t^2}{A/\gamma} + \frac{Y_t}{A} = 1 \tag{B4}$$

$p_t = 0 = \pi_t - \pi_t^\otimes$$Y_t = 0$$\sqrt{A/\gamma}$$\sqrt{A}$