Aiuta a capire i moltiplicatori lagrangiani?

Sto cercando di capire i moltiplicatori lagrangiani e usando un problema di esempio che ho trovato online.

Problema impostato:

Considera un consumatore con la funzione di utilità , dove . Supponiamo che questo consumatore abbia ricchezza e i prezzi . Questo è tutto ciò che ci è stato dato.$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

Lavoro che ho fatto:

Ho quindi definito un'equazione del vincolo di budget: . Ho anche definito un Lagrangiano associato per il problema di massimizzazione del consumatore: .$w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

La mia domanda:

Cosa mi permette di fare questa equazione? Anche se l'ho impostato data la formula sulla pagina di Wikipedia sui moltiplicatori lagrangiani, non ho davvero idea di quale sia lo scopo di questa equazione. Come se non capissi come l'equazione data mi permettesse di determinare come massimizzare la mia funzione di utilità.

Nota: ho familiarità con il calcolo multivariabile e i Lagrangiani ( ) in fisica, ma questo metodo è nuovo per me.$L = T -V$

Una funzione di ottimizzazione vincolata massimizza o minimizza un obiettivo soggetto a uno o più vincoli. A quanto ho capito, l'approccio moltiplicatore lagrangiano trasforma un problema di ottimizzazione vincolata (I) in un problema di ottimizzazione non vincolato (II) in cui i valori di controllo ottimali per il problema II sono anche i valori di controllo ottimali per il problema I. Inoltre, l'obiettivo funziona in i problemi I e II assumono gli stessi valori ottimali. Il trucco è un modo intelligente di mettere i vincoli nella funzione obiettivo direttamente anziché usarli separatamente.

Sono d'accordo con la tua presentazione del problema di massimizzazione del consumatore: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Ora prendiamo le derivate parziali rispetto a x an y, le impostiamo uguali a zero e quindi risolviamo per x * e y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (eqn 1)

Ripristinare l'equazione del vincolo di budget prendendo la derivata .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (eqn 2)

Ora abbiamo due equazioni e due incognite (x, y) e possiamo risolvere per x * e y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (risultato 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (risultato 2)

I risultati 1 e 2 costituiscono il famoso risultato delle quote di spesa costante per le funzioni di utilità e produzione Cobb-Douglas. Che può anche essere risolto esplicitamente per x * e y *: e che sono i valori ottimali sia per il Lagrangiano che per i problemi originali.y ∗ = ( 1 - α ) w / p $x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Questo è per intuizione, non per rigore, e si presume che sappiamo in che modo si desidera deviare dal vincolo. Qui è facile; vorresti spendere troppo, quindi invochiamo Lagrange per disciplinarti a spendere piuttosto che altro. Pensa al problema nei seguenti passaggi:$w$

1. Desideri uscire e consumare pizza ( ) e birra ( ) e chiedere ai tuoi genitori di prendere in prestito una carta di credito.$x$$y$
2. I tuoi genitori ti conoscono, quindi con la carta di credito ricevi il seguente avvertimento: se spendi più di , lasceremo che il nostro malvagio vicino Lagrange ti schiocchi le dita, offrendo un dolore degno unità di utilità per dollaro che spendi troppo.$w$$\lambda$
3. Guarda il Lagrangiano; ora è la tua utilità al netto della penalità, in funzione di pizza ( ), birra ( ) e dolore ( ). Dal tuo punto di vista, lo massimizzi semplicemente per il dato (il che significa, in particolare, che se è molto piccolo, il superamento del budget grossolanamente varrà un piccolo numero di schiaffi dal signor Lagrange).y λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) λ $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. Dal punto di vista dei tuoi genitori, vogliono adattare al numero che ti fa scegliere volontariamente di spendere esattamente , lasciando il signor Lagrange a bada. (La scelta di alto porterebbe a una spesa insufficiente, è possibile adattare l'interpretazione di conseguenza.)w $\lambda$$w$$\lambda$
5. Ovviamente sceglierai con precisione il livello in cui sei indifferente tra avere e non avere il pacchetto di ulteriori consumi e penalità. Da qui l'interpretazione del prezzo ombra: è (più precisamente: approssimazioni del primo ordine) quanto saresti disposto a pagare - nelle stesse unità della tua funzione oggettiva! per aumentare il budget.$\lambda$

Per quanto riguarda il suggerimento di cambiare segno sul vincolo: ovviamente funziona matematicamente, ma non lo uso quasi mai per scopi didattici; lasciandolo così com'è, espone un vincolo (che non ti piace, riduce la tua utilità) come equivalente a una tassa (che non ti piace neanche, per lo stesso motivo) . Da un punto di vista economico, si ha l'idea del vincolo che viene applicato da una tassa, e questo è istruttivo, ad esempio, nel modellare le imposte pigouviane interiorizzando le esternalità (negative indesiderate).$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

L'uso dei moltiplicatori di Lgrange per ottimizzare una funzione sotto vincoli è una tecnica utile , sebbene alla fine fornisca ulteriori approfondimenti e informazioni. Attenendosi al caso dei vincoli di uguaglianza, il problema

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

può ovviamente essere trasformato in un problema senza vincoli con la sostituzione diretta:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Ma in generale, la sostituzione diretta può produrre espressioni ingombranti (specialmente nei problemi dinamici), dove sarà facile commettere un errore algebrico. Quindi il metodo Lagrange ha un vantaggio qui. Inoltre, il moltiplicatore di Lagrange ha un'interpretazione economica significativa. In questo approccio, definiamo una nuova variabile, diciamo , e formiamo la "funzione lagrangeana"$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Innanzitutto, nota che è equivalente a , poiché la parte aggiunta a destra è identicamente zero. Ora massimizziamo il lagrangiano rispetto alle due variabili e otteniamo le condizioni del primo ordine$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Equivalente a , questo fornisce rapidamente la relazione fondamentale$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Questa relazione ottimale, insieme al vincolo di bilancio, fornisce un sistema a due equazioni in due incognite e quindi fornisce la soluzione in funzione dei parametri esogeni (parametro di utilità , i prezzi e la ricchezza data ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Per determinare il valore di , moltiplicare ogni condizione del primo ordine tutto da ed rispettivamente e poi sommare da lati per get$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Con un'utilità omogenea di primo grado, come nel caso delle funzioni di Cobb-Douglas, ce l'abbiamo

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

e quindi al pacchetto ottimale che abbiamo

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Ed è così che il moltiplicatore di Lagrange acquisisce un'interpretazione economicamente significativa: il suo valore è l' utilità marginale della ricchezza . Ora, nel contesto dell'utilità ordinale , l'utilità marginale non è realmente significativa (vedere anche la discussione qui ). Ma la suddetta procedura può essere applicata ad esempio a un problema di minimizzazione dei costi, in cui il moltiplicatore di Lagrange riflette l'aumento del costo totale da un aumento marginale della quantità prodotta, e quindi è il costo marginale.

Ti consiglierei di esaminare questa risposta paragrafo per paragrafo, assicurandoti di averli ciascuno a turno, o ti confonderai. Potresti anche voler ignorare quelli successivi se non è necessario per il tuo scopo.

L'idea principale è che se il punto è estremistico, allora è necessariamente un punto fermo del Lagrangiano, cioè tale punto, che tutti i derivati ​​parziali del Lagrangiano sono zero in esso. Per risolvere il problema è necessario identificare tutti i punti fissi e trovare il massimo tra di essi.

Tuttavia, in generale questa ricetta non è affidabile per l'entità, poiché il massimo potrebbe non esistere. Di solito puoi verificarne l'esistenza con il teorema di Weierstrass. Richiede che la finzione sia continua e che il set sia compatto, come è il caso qui. In generale significa che è necessario controllare tutti i punti limite dell'insieme in questione, i punti e i punti .$x= 0$$y = 0$

In questo caso la tua equazione non è sufficiente per la soluzione, poiché l'insieme che stai prendendo in considerazione è definito dalle disuguaglianze piuttosto che dalle uguaglianze. Si può notare, che la funzione è monotona in ed , in modo che il massimo è sul confine in alto a destra. Inoltre l'utilità è 0 se o , mentre ci sono punti fattibili in cui è strettamente positivo, quindi il massimo non può essere raggiunto ai confini sinistro o inferiore. Quindi questo approccio è completamente giustificato.$x$$y$$x = 0$$y=0$

In futuro dovresti essere consapevole del problema se tale tipo dovesse essere generalmente risolto applicando il Teorema di Kuhn-Tucker e ti consiglio di conoscerlo dopo aver afferrato questo materiale.

Come altri hanno notato, l'essenza del metodo di Lagrange è di convertire un problema agli estremi vincolati in una forma tale da poter applicare la FOC del problema degli estremi liberi. Nella tua configurazione, hai trasformato il problema non vincolato ( ) in:$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

Se si assume che la restrizione sarà raggiunto, che è, che , allora l'ultimo termine sarà svanire indipendentemente dal valore di , in modo che sarà identico a . Il trucco è trattare come una variabile di scelta aggiuntiva, massimizzando così . Poiché la condizione del primo ordine per è$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ possiamo essere certi della soddisfazione del vincolo e della scomparsa di .$\lambda$

Per quanto riguarda l' interpretazione di (il moltiplicatore di Lagrange), in termini economici generali è il prezzo ombra del vincolo. Nella tua configurazione, in cui esiste solo un vincolo di budget, il prezzo ombra è il costo opportunità del vincolo di budget, ovvero l'utilità marginale del denaro del budget (reddito).$\lambda_i$$i$

Un altro modo di vederlo è che misura la sensibilità di alle variazioni del vincolo (budget). In effetti è possibile dimostrarlo$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

Nota che per interpretare per avere senso devi sempre esprimere il vincolo come , non come (come hai scritto sul tuo setup). w - ( x p x + y p y ) ( x p x + y p y ) - $\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$