Ricerca della funzione di richiesta con una funzione min di utilità (x, y)

Sono confuso su un punto particolare riguardo alla ricerca di una funzione di domanda. Tutti i problemi in questo set di pratiche che sto facendo hanno comportato l'applicazione del metodo dei moltiplicatori lagrangiani. Ma non sono sicuro se si applica qui per questo problema.

Impostazione del problema

Considera un consumatore con la funzione di utilità . Supponiamo che ci venga data ricchezza w e prezzi p_x = 1, p_y = \ frac {1} {2} .$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Il mio lavoro

Non c'è ancora molto da fare. Tutto ciò che ho fatto è stato impostare un vincolo di budget $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

La mia confusione

Ero pronto a impostare un'equazione del moltiplicatore lagrangiano quando improvvisamente mi sono reso conto che la mia funzione di utilità è una funzione $\min$ . All'inizio, ho pensato che questa funzione non fosse differenziabile. Ora, sto pensando che non è differenziabile ma è parzialmente differenziabile. Non sono ancora sicuro.

La mia ipotesi

Ho il sospetto che sì $\min$ sia parzialmente differenziabile in base a questo thread

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Ma sospetto che la mia risposta avrà bisogno di una componente a tratti o qualcosa del genere.

La mia domanda

I moltiplicatori lagrangiani sono applicabili qui? In tal caso, come definisco il lagrangiano in termini a tratti come penso che dovrò fare? Se non è differenziabile, come si ottiene una funzione di domanda data una funzione o ?$\min$$\max$

No, non dovresti usare i moltiplicatori di Lagrange qui, ma il pensiero sano. Supponiamo che , diciamo per concretezza . Let . Quindi Quindi il consumatore potrebbe ridurre il suo consumo di buoni 2, senza essere peggio. D'altra parte per tutti , avremmo , quindi il consumatore potrebbe essere migliore di riducendo il consumo del secondo bene e spendendo i soldi liberati per il primo bene. In un ottimale, un consumatore non può migliorare quindi l'ottimalità richiede . È anche chiaro che i consumatori migliorano lungo la$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$Raggio di 45 °. Quindi puoi semplicemente usare come condizione di ottimalità da sostituire nel tuo budget e bypassare i moltiplicatori di Lagrange.$x=y$