Proprietà della sottomodularità nei giochi di congestione?

Lascia che sia un gioco di congestione di giocatori e elementi . $G$ $n$ $m$

Per un equilibrio , denota con $e$

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

Dove $sup_i(e)$ contiene il supporto del $i$ 'th giocatore che gioca $e$ (l'insieme delle strategie $i$ gioco con probabilità positiva).

Inoltre, diciamo che $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ iff $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , ovvero ogni giocatore in $e$ randomizza la sua azione su un sottoinsieme delle azioni che avrebbe potuto scegliere giocando $e'$ .

Un'ultima definizione è il costo sociale, che è definito come la somma dei costi per i giocatori. $SC(e)$

Let essere due equilibri (possibilmente misti) per . $e,e'$ $G$

Fa implica ?
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
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Intendevi dire ? Intuitivamente, si potrebbe pensare che concentrare il gioco dell'equilibrio attorno a un minor numero di elementi porterebbe ad ogni elemento più congestionato.

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$

— Ubiquo

@Ubiquitous - Penso che sia esattamente il contrario. Ogni giocatore è concentrato su un minor numero di elementi, il che significa che un minor numero di giocatori sta utilizzando ogni elemento. Il fatto che ogni giocatore ora scelga un sottoinsieme di elementi, e questo è ancora un equilibrio , potrebbe significare che la società ne sta guadagnando (altrimenti, sembra che i giocatori possano deviare nuovamente usando più elementi).

— RB

Dipende dalla funzione di costo (ritardo). Il gioco nella domanda è specificato in modo incompleto, perché i pagamenti (costi) sono assenti.

— Sander Heinsalu,

Questa proposizione non è in generale vera . Si può dimostrare che è vero nel caso e . Qui, espongo un contatore esempio quando e . $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

Un breve commento Possiamo riformulare la domanda a parole: un equilibrio di Nash che è "più casuale" ( contro ) è meno efficiente? Intuitivamente, poiché vengono giocate più strategie miste, il risultato realizzato è più casuale e può essere molto inefficiente a causa della mancanza di coordinamento tra agenti. Quando gli agenti svolgono strategie pure, possiamo pensare di ridurre il problema di coordinazione dato che consideriamo gli equilibri di Nash. Questa intuizione non vale se la proposizione è falsa, come mostrerò quando e . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

Indica e le due azioni possibili. Le funzioni di ritardo sono definite come segue: , , e , , . Significa che quando $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ agenti giocano (resp. ), ricevono il payoff (resp. ). Questo è un gioco (simmetrico) di congestione fintanto che le funzioni di ritardo aumentano. $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

Definire come l'equilibrio quando 1 agente gioca e 2 agenti giocare . Definire come l'equilibrio quando 1 agente gioca sempre , e gli altri 2 gioca con probabilità e con probabilità . Soddisfa la proprietà . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

Innanzitutto, mostriamo che è un equilibrio di Nash. L'agente che gioca sta massimizzando il suo guadagno data la strategia degli altri due giocatori quando scegliere è meglio che scegliere , (cioè ). Entrambi gli agenti che giocano a stanno giocando in modo ottimale se (cioè ). $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ è quindi un equilibrio di Nash e il suo costo sociale è . $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

In secondo luogo, mostriamo che è un equilibrio di Nash. Da un lato, l'agente che gioca a sta massimizzando il suo guadagno quando gli altri due giocano una strategia mista se sta meglio giocando a di , $e'$ $B$ $B$ $A$ cioè

(1 - μ)^{2} d_{B} (3) + 2 μ (1 - μ) d_{B} (2) + μ^{2} d_{B} (1) < (1 - μ)^{2} d_{UN} (1) + 2 μ (1 - μ) d_{UN} (2) + μ^{2} d_{UN} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{A} (2) + (1 - μ) d_{A} (1) = μ d_{B} (2) + (1 - μ) d_{B} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

(1 - μ)^{2} [3 d_{B} (3)] + 2 μ (1 - μ) [d_{A} (1) + 2 d_{B} (2)] + μ^{2} [2 d_{A} (2) + d_{B} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$ which is equal to

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$ .

Finally, we have shown that $sup(e) \subseteq sup(e')$ but $SC(e) > SC(e')$ . The mixed-strategy Nash equilibrium results in a lower social cost than the pure-strategy one.

— GuiWil
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