Conoscenza comune e puzzle sui cappelli rossi

Ecco un puzzle che dovrebbe aiutare a illuminare le conoscenze comuni nella teoria dei giochi. Tre ragazze sono sedute in cerchio, ognuna con un cappello rosso o bianco. Ognuno può vedere il colore di tutti i cappelli tranne il proprio. Supponiamo ora che tutti indossino cappelli rossi.

Si dice che se l'insegnante annuncia che almeno uno dei cappelli è rosso, e quindi chiede in sequenza a ogni ragazza se conosce il colore del suo cappello, la terza ragazza interrogata saprà che il suo cappello è rosso. Capisco il ragionamento lì. Il primo deve aver visto almeno un cappello rosso sugli altri due per dire che non lo so. E la seconda ragazza doveva aver visto un cappello rosso sul terzo, altrimenti avrebbe dedotto che la prima ragazza avesse visto un cappello rosso su di lei.

Ciò che non capisco è la necessità dell'insegnante. Tutti sanno che c'è almeno un cappello rosso. E, se iniziamo con una conoscenza comune, dovrebbero capire che tutti lo sanno. Quindi l'insegnante viene introdotto solo se la conoscenza comune non è un presupposto?

Fonte: http://cowles.econ.yale.edu/~gean/art/p0882.pdf

Senza l'insegnante, tutti sanno che c'è almeno un cappello rosso, ma nessuno sa che tutti lo sanno - il fatto non è conoscenza comune.

Con l'introduzione dell'insegnante,

• La ragazza 1 non risponde. A causa di una conoscenza comune , 2 e 3 possono ragionare: "1 sa che c'è almeno un cappello rosso, e poiché non conosce il colore del suo cappello, 2 e / o 3 devono avere un cappello rosso.

Senza l'introduzione dell'insegnante,

• La ragazza 1 non risponde. Senza una conoscenza comune, non c'è nulla che 2 e 3 possano ragionare oltre alla loro conoscenza precedente: 2 continuerà a sapere che 3 ha un cappello rosso e 3 continuerà a sapere che 2 ha un cappello rosso. Niente di più.

In altre parole: senza l'insegnante, l'insieme delle conoscenze è:

• 1: 2 + 3 hanno cappelli rossi
• 2: 1 + 3 hanno cappelli rossi
• 3: 1 + 2 hanno cappelli rossi

L'insegnante lavora come iniettore di conoscenza aggiuntiva:

• 1: 2 + 3 sanno entrambi che esiste almeno un cappello rosso
• 2: 1 + 3 sanno entrambi che esiste almeno un cappello rosso
• 3: 1 + 2 sanno entrambi che esiste almeno un cappello rosso

E, conoscenza comune significa che al livello successivo, tutti sanno che tutti lo sanno

• 1: 2 + 3 sanno entrambi che so che esiste almeno un cappello rosso

ecc . all'infinito . Queste informazioni aggiuntive sono necessarie per risolvere il puzzle.

Penso che in sostanza tu dica: senza l'annuncio dell'insegnante, non è ancora risaputo che tutti vedono almeno 1 cappello rosso? (Hai detto: "Tutti sanno che c'è almeno un cappello rosso. E, se iniziamo con una conoscenza comune, dovrebbero capire che tutti lo sanno.")

Non penso lo sia. La persona 1 vede le persone 2 e 3 con cappelli rossi. Sì, 1 pensa: "2 vede un cappello rosso su 3."

Tuttavia, 1 pensa ulteriormente: "Se 2 vede il mio cappello bianco, allora 2 pensa che 3 potrebbero vedere entrambi i cappelli bianchi: il mio e 2, che potrebbero essere anche bianchi. Quindi penso che 2 potrebbero pensare che 3 potrebbero non vedere un rosso In altre parole, non so che 2 sappia che 3 sa che c'è almeno 1 cappello rosso.Non è noto che ci sia almeno 1 cappello rosso, perché penso che sia possibile che 2 pensi che 3 non vede un cappello rosso ".

Questo rompe la vecchia soluzione in questo modo. Supponiamo che 3 e 2 affermino in sequenza di non sapere di che colore indossano il cappello. Quindi è il turno di 1. 1 pensa: "Se 2 sa che 3 vede un cappello rosso, allora il mio cappello è rosso. Perché altrimenti il ​​mio cappello è bianco, quindi 2 conclude che il suo cappello è il cappello rosso che 3 vede. Va bene, ma so che 2 sa che 3 vede un cappello rosso? Per quanto sopra, no, non lo so! Non so che 2 sa che 3 sa che c'è un cappello rosso. E in particolare, non è conoscenza comune! "

Conclusione: senza l'annuncio dell'insegnante, perdiamo (1) conoscenza comune e (2) la vecchia soluzione in cui l'ultima persona a indovinare può indovinare il colore del cappello.