Forma ridotta di un modello econometrico, problema di identificazione e test

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Alla ricerca di aiuto per comprendere il seguente problema e come utilizzare la forma ridotta in econometria

Considera un modello per la salute di un individuo:

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

supponiamo che tutte le variabili dell'equazione, ad eccezione dell'esercizio, non siano correlate a u.

A) Annotare la forma ridotta per l'esercizio e indicare le condizioni in cui sono identificati i parametri dell'equazione.

B) Come si può verificare l'assunzione di identificazione nella parte c?

È corretto assumere:

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ come forma ridotta?

ed è la condizione per l'identificazione dei parametri semplicemente

$E(exercise|u)=0$

e come posso provarlo? Ma inoltre a cosa serve?

econometrics

— Clemente Cortile
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Questa è la domanda molto standard sulle variabili strumentali dei modelli lineari a singola equazione. Dati i primitivi della tua domanda, l'unica variabile endogena è l' esercizio . Per rispondere a questa particolare domanda, hai bisogno di una variabile esogea, z , che soddisfi due condizioni:

cov (z, u) = 0.
Ci deve essere una relazione tra la variabile endogena e questa variabile esogena che stai proponendo, ma che non faceva parte del vero modello postulato (il modello strutturale). In altre parole, con , e ortogonale a tutte le variabili esplicative (diverse dall'esercizio) e a z. $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ $\phi\ne 0$ $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

Prima di andare avanti, un'osservazione. Per modello strutturale intendo, seguendo la convenzione di Wooldridge e Goldberger, il modello postulato. Cioè, il modello che afferma la relazione causale tra salute e covariate. Questa è una differenza fondamentale e un disaccordo con le risposte precedenti.

Ora, tornando al problema attuale, la condizione 2 è ciò che nella letteratura sulle equazioni simultanee si chiama l'equazione di forma ridotta , che non è altro che una proiezione lineare dell'endogeno su tutte le variabili esogene, tra cui z.

Ora collega il modulo ridotto al tuo modello postulato e otterrai

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ dove , e . Secondo la definizione di proiezione lineare, non è correlato con tutte le variabili esplicative e quindi OLS di quest'ultima equazione produrrà stime coerenti per e , non per il sottostante nel modello vero.

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$

ν

$\nu$

α_{i}

$\alpha_i$

δ

$\delta$

b_{i}

$b_i$

L'identificazione richiede un po 'di manipolazione in forma di matrice ma essenzialmente si riduce alla cosiddetta condizione di rango . Definisci e modo che il tuo modello strutturale sia . Ora definisci . Per condizione 1 (cov (z, u) = 0 in modo che E (z, u) = 0), Se moltiplichi i lati bot del modello strutturale per e prendi le aspettative che hai condizione di rango afferma che $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$

z

$\mathbf{z}$

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ è il grado di colonna completo. In questo esempio particolare e date le condizioni su z questo equivale a Quindi abbiamo 6 equazioni in 6 incognite. Quindi esiste un unico la soluzione per il sistema, ovvero è identificata ed equivale a , come desiderato.

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$

b

$\mathbf{b}$

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

Note: la condizione 1 è utile per ottenere la condizione del momento, ma il modello di forma ridotta con è cruciale per la condizione di rango. Entrambe le condizioni sono normali. $\phi$

A questo punto dovrebbe essere chiaro perché ne abbiamo bisogno. Da un lato, senza z lo stimatore OLS del modello vero produrrà stimatori incoerenti non solo per ma per tutti . D'altra parte (e in qualche modo correlati), i nostri parametri sono identificati in modo univoco, quindi siamo certi che stiamo stimando la vera relazione causale come affermato nel nostro vero modello. $b_6$ $b_i$

Per quanto riguarda il test, la condizione 2 (z ed esercizio sono parzialmente correlati) può essere testata direttamente e dovresti sempre riportare quel passaggio in contrasto con il commento in una risposta precedente. C'è un'enorme letteratura in relazione a questo passaggio, specialmente la letteratura sugli strumenti deboli.

Tuttavia, la seconda condizione non può essere testata direttamente. A volte potresti invocare la teoria economica per giustificare o fornire ipotesi alternative che supportano l'uso di z.

— MauOlivares
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La domanda non ha molto senso per me come affermato. Se il problema indica che l' esercizio fisico è endogeno (correlato al termine dell'errore), non è possibile assumere il contrario nella soluzione. Inoltre, di solito si parla di forma ridotta vs. struttura nel contesto della stima IV. Se l' esercizio fisico è endogeno, è necessario uno strumento per esso (variabile che prevede l'esercizio, ma non influisce sulla salute in altro modo) per ottenere effetti causali. Ad esempio, se alcune persone nel tuo campione hanno vinto casualmente coupon di abbonamento a una palestra, questo potrebbe essere uno strumento valido.

Le ipotesi di identificazione sarebbero quindi

il coupon prevede davvero l' esercizio
promozionale è ortogonale $u$

Ciò che viene chiamato forma strutturale sarebbero due equazioni, una il tuo modello originale, l'altra regressione dell'esercizio sul coupon e altre variabili esplicative del modello originale (il primo stadio). La forma ridotta sarebbe quando si sostituisce il primo stadio nell'equazione principale, quindi si regredisce la salute per età, peso, ..., lavoro e coupon (ma non esercizio fisico , in quanto è stato sostituito). La forma ridotta viene talvolta utilizzata per spiegare le proprietà della stima IV, ma AFAIK non è molto utilizzata nella pratica.

— ivansml
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