Le stime dei parametri sono distorte se la variabile dipendente è un tasso pro capite basato su dati di popolazione approssimativi?

Supponiamo di voler stimare un modello:

$Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \epsilon_i\tag{1}$

dove sono medie o tassi pro capite per regioni o zone geografiche, quindi se è la variabile aggregata di interesse regionale e è la popolazione:Z i P $Y_i$$Z_i$$P_i$

$Y_i = Z_i / P_i\tag{2}$

Se tutte le variabili sono misurate accuratamente e se esistono $β_0^*$ e $β_1^*$ tali che per tutti i:

$E[Y_i - \beta_0^* - \beta_1^*X_i] = E[\epsilon_i] = 0\tag{3}$

quindi la stima OLS del modello (1) dovrebbe produrre una stima imparziale di $\beta_1$ .

Supponiamo tuttavia che le stime di $P_i$ siano solo approssimative. Questo è in pratica probabilmente poiché i valori di $P_i$ saranno quasi sicuramente ottenuti o derivati ​​dai dati del censimento, portando a diverse possibili fonti di errore:

1. errore nei dati del censimento originale;
2. estrapolazione dai dati del censimento utilizzando ipotesi sull'andamento della popolazione in cui sono richiesti dati per una data successiva;
3. le regioni utilizzate nel modello potrebbero non corrispondere alle aree del censimento, ad esempio anelli concentrici attorno a un punto centrale. Un esempio è uno studio di valutazione dei costi di viaggio riportato in Herath (1999) (1) in cui le popolazioni nell'intervallo da 5.000 a 35.000 per zone ad anello concentrico sono tutte espresse in multipli esatti di 5.000, suggerendo che le cifre sono solo molto approssimative.

Gli errori in ovviamente "infetteranno" i valori di , ma non in modo semplice, poiché l'effetto assoluto su di un dato errore in dipenderà dalla dimensione di (e se non ci sarà errore in ). $P_i$$Y_i$$Y_i$$P_i$$Z_i$$Z_i = 0$$Y_i$

Domanda : dati gli errori in , la stima OLS del modello (1) produrrà una stima imparziale di e, in caso contrario, in quali condizioni aggiuntive la stima sarebbe imparziale?$P_i$$\beta_1$

Riferimento

1. Herath, G (1999) Stima dei valori comunitari dei laghi: uno studio sul lago Mokoan nella Victoria Australia Analisi economica e politica 29 (1) Tabella 1 p 37

Che ne dici di ipotizzare un processo di errore moltiplicativo e quindi di usare i log?

Supponiamo che il processo di generazione dei dati sia leggermente diverso: $Y_i = \beta_0 \cdot X_i^{\beta_1}\cdot E_i$

Se in verità, ma tutto ciò che potremmo davvero osservare era:$Y_i = Z_i / P_i$

$\hat{P}_i = P_i \cdot \Gamma_i$ , dove era il valore reale e era un errore di misurazione strettamente positivo.$P_i$$\Gamma_i$

Stimeremo in pratica la seguente equazione:

$\hat{Y}_i = Z_i / \hat{P}_i = \beta_0 \cdot X_i^{\beta_1}\cdot E_i$

prendere i registri di entrambi i lati (le lettere minuscole sono registri di singole variabili):

$y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot x_i + \epsilon_i - \gamma_i$

Se definiamo una variabile allora possiamo avere un'equazione che assomiglia molto a quella che hai scritto sopra.$\xi_i = \epsilon_i - \gamma_i$$y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot x_i + \xi_i$

Se soddisfa le stesse relazioni con le variabili di registro che fa con le variabili di livello, sembra che tutto dovrebbe ancora funzionare.$\xi_i$$\epsilon_i$

Solo per integrare la risposta di @ Bkay, "l'errore di misurazione" nella variabile dipendente è relativamente "innocuo", ciò che fa male è l'errore nella misurazione nei regressori.

Se abbiamo un errore di misurazione nella variabile dipendente, ciò che dobbiamo assumere in aggiunta, al fine di preservare l'imparzialità, è che questo errore è indipendente dai regressori. Se possiamo ragionevolmente supporre che (e di solito possiamo), allora la risposta di @BKay mostra che l'effetto è solo una trasformazione del termine di errore della regressione. Può influire sulla varianza, ma non sulle stime dei parametri.

Al contrario, se abbiamo un errore di misura nei regressori, allora smettono di essere rigorosamente esogeni al termine dell'errore e l'imparzialità viene persa.