Soluzione per un pacchetto di consumi ottimali

Considera un consumatore che può consumare A o B, con le quantità indicate rispettivamente da $ a $ e $ b $. Se la funzione di utilità del consumatore è data da $$ - [(10-a) ^ 2 + (10-b) ^ 2] $$ (supponiamo che i prezzi di entrambi i beni siano pari a $ 1 $), allora risolvi il consumo ottimale del consumatore quando il suo reddito è di $ 40 $.

Il mio approccio: ho il problema: $$ max (- [(10-a) ^ 2 + (10-b) ^ 2]) $$ $$ st \ a + b \ le 40, \ a \ ge 0, \ b \ ge 0. $$ Osservando la funzione obiettivo, vediamo che il suo valore massimo è $ 0 $ quando $ a = b = 10 $.

Sono qui?

Sì hai ragione. Quella soluzione implica un'utilità di $ 0 $, mentre qualsiasi altra soluzione necessariamente ti darà utilità negativa.

È un problema strano per la sua violazione della nonsaziazione locale: è davvero ottimale per la famiglia buttare via il resto delle sue entrate.

Aggiornare

Aggiungiamo il o A o B e vedi cosa succede:

$$ max (- [(10-a) ^ 2 + (10-b) ^ 2]) $$ $$ st \ a + b \ le 40, \ a \ ge 0, \ b \ ge 0, \ ab = 0. $$

Il set di soluzioni ottimali ora contiene $ \ {(10, 0), (0, 10) \} $. Le preferenze tra questa sono ancora soddisfatte globalmente a $ (10,10) $, ma poiché il punto non è fattibile, impostiamo una delle coordinate su quel valore e manteniamo l'altra a $ 0 $.