Qual è un esempio di una funzione di utilità in cui un bene è inferiore?

Supponiamo che il consumatore abbia una preferenza convessa e monotona rispetto a mele e banane.

(Aggiornamento: Vorrei che la preferenza fosse il più 'standard' possibile. Quindi idealmente abbiamo un MRS decrescente ovunque e abbiamo anche "più è meglio" ovunque.)

Supponiamo che la sua preferenza possa essere rappresentata da alcune funzioni di utilità . Deve soddisfare alcuni vincoli di budget , dove è il suo reddito. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Allora qual è un esempio di una funzione di utilità in cui , almeno in alcune circostanze? $\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Questa mi sembra una domanda molto semplice, ma per un breve periodo su Google non riesco a trovare nulla.

utility preferences

— Kenny LJ
fonte

Risposte:

Un bene non può essere inferiore all'intero intervallo di reddito.

L'articolo A Convenient Utility Function with Giffen Behavior mostra che per una persona con utility del modulo:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X è inferiore se e sono positivi, e nel dominio e . $\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

Aggiornamento: Se il budget è , quindi per è appiccicoso ~~inferiore~~ . Realizzato che questa è in realtà un'elasticità a reddito zero non negativa, quindi non è inferiore.

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Ho trovato un'altra forma funky funzionale per una funzione di utilità in cui un bene è inferiore ma anch'esso ha un'utilità marginale crescente dell'altro bene: un bene inferiore e una nuova mappa di indifferenza

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Questa funzione fornisce una pazza mappa di indifferenza.

Il classico esempio per me di beni inferiori sono cose come il cibo economico, dove il cibo delizioso che è molto più costoso lo affolla perché c'è un ulteriore vincolo (capacità dello stomaco) che alla fine si lega. Dovrebbe essere prontamente possibile fare un esempio in cui l'inferiorità è una conseguenza di questo secondo vincolo piuttosto che della funzione di utilità.

Aggiorna con un altro esempio:

L'articolo The Case of a “Giffen Good” (Spiegel (2014)) mostra che per una persona con utilità del modulo: dove e sono valori costanti e positivi.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Ma come nelle funzioni sopra, questa funzione di utilità ha un MU crescente in un bene (Y). Questo è apparentemente comune nelle impostazioni di Giffen:

Nel caso di una funzione di utilità additiva in cui le utilità marginali di tutti i beni diminuiscono con il consumo dei beni, ovvero l'utilità marginale del reddito sta diminuendo, tutti i beni sono normali e si sostituiscono a vicenda. Tuttavia, se per alcuni buoni (nel nostro caso, buoni Y) l'utilità marginale è positiva e crescente e per gli altri buoni (i) utilità (i) marginale (sta) diminuendo (nel nostro caso, buona X), allora l'utilità marginale del reddito è in aumento. Il bene che mostra un'utilità marginale crescente è un bene di lusso, mentre il bene che mostra un'utilità marginale decrescente è un bene inferiore. Queste caratteristiche sono state dimostrate da Liebhafsky (1969) e Silberberg (1972) e wen: utilizzate per sviluppare la funzione di utilità sopra illustrata che illustra il caso di un bene Giffen.

— BKay
fonte

Un problema con questa funzione è che questa non è una normale funzione di utilità. Come scrive lo stesso autore, "nel caso della buona Y, l'utilità marginale aumenta man mano che ne viene consumata una quantità maggiore".

— Kenny LJ,

Se hai ulteriori requisiti di forma funzionale, ti consiglio di aggiungerli alla tua domanda per migliorare la qualità delle risposte che ricevi.

— Sabato

L'ho fatto: ho affermato che la preferenza deve essere convessa.

— Kenny LJ,

Quindi l'hai fatto, scusa.

— Sabato

Continuiamo questa discussione in chat .

— Sabato

Vediamo cosa implica l'inferiorità di un bene nel caso dei due buoni. Cerca "The Structure of Economics" di Silberberg (ancora uno dei migliori libri di testo di microeconomia universitari mai scritti), cap. 10 per maggiori dettagli.

La massimizzazione dell'utilità è descritta da (le stelle indicano livelli ottimali)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

e nota l'uso del simbolo dell'identità invece della semplice uguaglianza: queste relazioni sono sempre ottimali. Quindi possiamo differenziare entrambe le parti e mantenere l'identità. Fallo e risolvi il sistema di equazioni per determinare le varie derivate e scoprirai che se il bene è inferiore, , allora dobbiamo avere quello $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Se siamo disposti ad accettare , allora può essere zero e possiamo avere una funzione di utilità come quella menzionata nella risposta di @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Ma se vogliamo mantenere , allora deve essere il caso che , anche la derivata cross-parziale della funzione utility sia strettamente negativa (e quindi non zero). Ciò a sua volta implica preferenze che non sono separabili , in modo additivo o moltiplicativo. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Forse puoi considerare qualcosa del genere

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

e tutti e quattro i parametri positivi. Ad esempio, per i valori, la mappa di indifferenza $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

La mia congettura è che per si potrebbe essere in grado di avere tutte le configurazione standard con inferiorità di (e per i valori adeguati di prezzi e gli altri parametri naturalmente). Trova le condizioni del primo ordine, sostituisci in termini di nel vincolo di budget e utilizza il teorema della funzione implicita per determinare le condizioni sui parametri richiesti per . E non dimenticare di verificare se queste condizioni sono compatibili con le condizioni del secondo ordine per la massimizzazione dell'utilità. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

COMMENTO 7 ottobre 2015
Alcuni commenti in questa risposta mi sembrano confondere il problema della rappresentazione delle preferenze e della conservazione della classificazione delle preferenze sotto le trasformazioni monotoniche, con la proprietà "inferiorità" di un bene. Le preferenze e la loro rappresentazione non hanno nulla a che fare con l'esistenza di un vincolo di bilancio. D'altra parte, "l'inferiorità" ha tutto a che fare con l'esistenza di un vincolo di bilancio e in che modo influenza le scelte ( non le preferenze) quando cambia.

E la trasfomrazione monotonica non lascia tutto "invariato". Considera la funzione di utilità e la sua trasformazione monotonica . Si può facilmente vedere che mentre , abbiamo quel . In altre parole, le trasformazioni monotoniche possono preservare la classifica dei fasci, ma ciò non significa che forniscano le stesse relazioni tra i beni. E come ho scritto sopra, la proprietà dell '"inferiorità" dipende dai segni e dalle magnitudini relative della seconda derivata parziale della funzione di utilità utilizzata, dai segni e dalle magnitudini relative che dipendono dalla forma funzionale effettiva utilizzata. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Alecos Papadopoulos
fonte

NON dà lo stesso ordine di preferenza su fasci di ? Sono solo preferenze simili a Cobb-Douglas dopo aver preso il registro che non dovrebbe mostrare inferiorità ma quote di budget piuttosto costanti.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— Sabato

Le funzioni di utilità Cobb-Douglas di @ BKay rappresentano preferenze separabili. Come ho scritto nella mia risposta, è necessario (sebbene non sufficiente) avere non separabilità, per poter avere inferiorità. E questa specifica forma funzionale, a differenza delle forme di Cobb-Douglas, ha questa proprietà di non separabilità. Senza il logaritmo, non lo fa. Lascio a chiunque sia interessato a esplorarlo ulteriormente.

— Alecos Papadopoulos,

Solo per sottolineare, come ha fatto @Bkay, è una trasformazione monotonica di . Quindi entrambi rappresentano la stessa preferenza.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Kenny LJ,

@KenyLJ Ciò che conta per la tua domanda, che riguarda le forme funzionali che possono riflettere l'inferiorità, è se la forma funzionale è caratterizzata da separabilità o meno, (se si vuole mantenere derivati secondari decrescenti della funzione di utilità).

— Alecos Papadopoulos,

Alecos, è strabiliante. Quello che stai dicendo è che una persona con esattamente le stesse preferenze (che sono, in quanto è trasformazione monotonica) può scegliere diversi gruppi di consumo, a seconda di come scriveresti la sua funzione di utilità. Per favore ...

È abbastanza difficile ottenere modelli trattabili con proprietà ragionevoli / realistiche. Un caso generale di goods è dato da Sørensen in Heijman et al. (2012) , pag. 100-3. Un altro esempio, per due beni e con dominio limitato, è dato da Haagsma (2012) . Controllare i riferimenti in essi contenuti è il modo più semplice per ottenere una notevole raccolta di funzioni di utilità per beni inferiori - sebbene sembri che ci sia più letteratura sui beni Giffen rispetto a quelli inferiori meno esigenti. $n$

Per quanto riguarda la discussione precedente sulla convessità delle preferenze, le funzioni di utilità che producono diverse funzioni di domanda su una trasformazione monotonica positiva non sono quasiconcave e, quindi, le preferenze non sono convesse, dato che la quasiconcavità è preservata con qualsiasi composizione non decrescente. Che la funzione suggerita da Alecos Papadopoulos non sia Cobb-Douglas dovrebbe essere facile da vedere.
Tuttavia, se è quasiconcave, allora produrrà le stesse funzioni di domanda (e gli stessi effetti di prezzo e reddito) di dove è positivo trasformazione monotonica, indipendentemente dal fatto che sia debolmente separabile o meno Un avvertimento: attenzione agli effetti sul dominio. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— Dugo
fonte