Una funzione di utilità può assumere valori negativi?

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Qualcuno può fornire una definizione rigorosa di una funzione di utilità? Avevo pensato che una funzione di utilità avesse solo bisogno di preservare l'ordine delle preferenze. Pertanto, una funzione di utilità può assumere valori negativi purché mantenga l'ordine delle preferenze. Altri mi hanno detto che una funzione di utilità non può assumere valori negativi. È questa una condizione di una definizione rigorosa di una funzione di utilità?

utility

— Tony Bui
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Una funzione di utilità può certamente essere negativa. La funzione di utilità non è altro che un modo per rappresentare una relazione di preferenza. Questo è un punto concettuale importante. In diversi teoremi che in genere compaiono nei testi introduttivi, mostriamo che insiemi di preferenze che soddisfano determinate condizioni di regolarità possono essere rappresentate come funzione di utilità.

Inoltre, esistono diversi quadri di teoria delle decisioni che consentono di trasformare la funzione di utilità. Hai accennato a qualcosa di simile nella tua domanda. Nel quadro tradizionale senza incertezza, la funzione di utilità è definita fino a una trasformazione monotonica. Sotto certi tipi di incertezza, otteniamo funzioni di utilità di Von Neumann-Morgenstern che sono uniche fino alle trasformazioni affini. Puoi leggere di più su questo altrove. Per ora, considera la seguente definizione di funzione di utilità. È tratto da Advanced Microeconomic Theory di Jehle e Reny (3a edizione):

Definizione di una funzione di utilità

Una relazione di preferenza è definita come segue: $\succeq$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

dove i riferimenti degli assiomi sono questi:

$x^1$ $x^2$ $X$ $x^1 \succeq x^2$ $x^2 \succeq x^1$

$x^1$ $x^2$ $x^3$ $X$ $x^1 \succeq x^2$ $x^2 \succeq x^3$ $x^1 \succeq x^3$

— jmbejara
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Bella risposta! Risolto la mia domanda

— Jinhua Wang,

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Ecco una possibile definizione rigorosa di una funzione di utilità:

$X$ $\succeq$ $U: X \to \mathbb{R}$ $U(x) \geq U(y) \iff x \succeq y$

$X$ $x \succeq y$ $x \geq y$ $U(x) = x, U(x) = e^x, U(x) = \log(x)$

Alcuni di questi sono negativi.

$U(x) > 0$ $U(x) = x$ $U(x) = \log(x)$

— NickJ
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⪰

$\succeq$

C^{1 - γ} / (1 - γ)

$C^{1-\gamma}/(1-\gamma)$

γ > 1

$\gamma > 1$

Non direi che è "il migliore". Per l'analisi del benessere o per pensare a cose come atteggiamenti nei confronti del rischio, a volte diamo più significato alla funzione di utilità piuttosto che rappresentiamo semplicemente una relazione di preferenza. Si potrebbe discuterne la filosofia, ma c'è una lunga storia di interpretazione della funzione di utilità come rappresentazione di qualcosa di reale.

— NickJ,

"c'è una lunga storia di interpretazione della funzione di utilità come rappresentazione di qualcosa di reale" Sì. Ma per essere precisi, questo è solo il caso di "utlità cardinale" in contrapposizione a "utilità ordinale". Ma anche le funzioni di utlità di VnM (che sono cardinali e sono le funzioni di utilità più comunemente utilizzate) sono definite fino a trasformazioni affine. Pertanto, il segno dell'utilità è in un certo senso ancora arbitrario.

— jmbejara,

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Come dice jmbejara in generale, l'utilità economica non si misura in nient'altro che nelle relazioni di preferenza, quindi si chiama utilità ordinale (che contrasta l'utilità cardinale). Quindi un'utilità che fornisce bundle di -1 è preferita a qualsiasi bundle che dà meno di -1. Il numero -1 non ci dice nient'altro.

"La teoria dell'utilità ordinaria afferma che mentre l'utilità di un particolare bene o servizio non può essere misurata usando una scala numerica che abbia un significato economico in sé e per sé, è possibile ordinare coppie di fasci (combinazioni) di beni alternativi in modo tale che uno sia considerato da un individuo essere peggiore, uguale o migliore dell'altro. Questo contrasta con la teoria dell'utilità cardinale, che generalmente tratta l'utilità come qualcosa il cui valore numerico è significativo a sé stante ". (fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_utility )

— snoram
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