Simulazione del ciclo economico reale

Fondamentalmente ho bisogno di replicare la "Guida per l'utente alla risoluzione di modelli di cicli di business reali" di Hartley ( http://www.econ.ucdavis.edu/faculty/kdsalyer/LECTURES/Ecn235a/Linearization/ugfinal.pdf ). In particolare, voglio simulare il sistema dinamico implicito nel modello che è specificato come segue:

dove è consumo, è offerta di lavoro, è capitale, è il processo tecnologico autoregressivo, è la produzione e è investimento.$c$$h$$k$$z$$y$$i$

Lo simulo usando la seguente logica: diciamo al momento , tutto è in stato stazionario e tutti i valori sono 0, da cui abbiamo . Quindi, a dando uno shock al sistema tramite , per e (dato che ho il "shocked" e ottenuto in precedenza . Quindi, inserisco questi due per recuperare il resto, vale a dire - e ripeto il processo.$t$$k_{t+1}$$t+1$$\varepsilon$$c_{t+1}$$h_{t+1}$$z_{t+1}$$k_{t+1}$$y_{t+1}, i_{t+1}, k_{t+2}$

Sfortunatamente, ho un processo esplosivo che non ha senso:

Includo anche il codice R che viene utilizzato per simulare questo:

n<-300

data.simulated <- data.table(t = 0, zval = 0, cval = 0, hval = 0, kval = 0, yval = 0, ival = 0)
data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = 1, kval = 0), fill = TRUE)

for (ii in 1:n){

  ##initial shocks
  eps <- rnorm(1, mean = 0, sd = 0.007)
  zt1 <- data.simulated[t == ii - 1, zval]*0.95 + eps
  kt1 <- data.simulated[t == ii, kval]

  ##solve for ct, ht
  lmat <- matrix(c(1, -0.54, 2.78, 1), byrow = T, ncol = 2)
  rmat <- matrix(c(0.02 * kt1 + 0.44 * zt1, kt1 + 2.78 * zt1), ncol = 1)

  solution <- solve(lmat, rmat)
  ct1 <- solution[1, ]
  ht1 <- solution[2, ]

  ##now solve for yt1 and kt2 and it1
  yt1 <- zt1 + 0.36 * kt1 + 0.64 * ht1
  kt2 <- -0.07 * ct1 + 1.01 * kt1 + 0.06 * ht1 + 0.1 * zt1
  it1 <- 3.92 * yt1 - 2.92 * ct1

  ##add to the data.table the results
  data.simulated[t == ii, c("zval", "cval", "hval", "yval", "ival") := list(zt1, ct1, ht1, yt1, it1)]
  data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = ii + 1, kval = kt2), fill = TRUE)
}


a <- data.simulated[, list(t, cval, ival, yval)]
a <- data.table:::melt.data.table(a, id.vars = "t")
ggplot(data = a, aes(x = t, y = value, col = variable)) + geom_line()

La mia domanda è semplice: il sistema specificato nel documento è intrinsecamente instabile e quindi i risultati, o ho fatto un errore da qualche parte?

Esplosività

Il documento contiene un errore, che causa la dinamica esplosiva nella simulazione (sebbene presumibilmente i calcoli sottostanti nel documento fossero corretti). La condizione di equilibrio derivata dalla decomposizione degli autovalori è contenuta nella terza riga della matrice a pagina 12 del documento, con le variabili ordinate come (lascerò cadere le tildas, quindi tutti le variabili minuscole vanno intese come deviazioni del log). Confronto con eqn. (16) a pag. 13, vediamo che i coefficienti per e vengono commutati, e quindi la condizione corretta è$Q^{-1}$$(c,k,h,z)$$k$$h$

$$c_t = 0.54 k_t + 0.02 h_t + 0.44 z_t$$

Simulazione

Innanzitutto, possiamo esprimere il consumo e il lavoro come funzione lineare delle variabili di stato (non è necessario risolvere il sistema in ogni fase della simulazione). Le condizioni di equilibrio intertemporale e intratemporale possono essere scritte come

$$\begin{bmatrix}1 & -0.02 \\ 2.78 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.54 & 0.44 \\ 1 & 2.78 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$$

quindi dopo aver moltiplicato per un inverso otteniamo

$$\begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.53 & 0.47 \\ -0.47 & 1.47 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$$

Successivamente, la transizione per gli stati può essere scritta come

$$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.07 & 0.06 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1.01 & 0.1 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$$

che può essere ridotto sostituendo le variabili di controllo a

$$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.94 & 0.16 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$$

Ora la simulazione dovrebbe essere banale, ecco un esempio Matlab / Octave:

T = 200;
X = zeros(2,T);
for i=2:T
    X(:,i) = [0.94 0.16; 0 0.95] * X(:,i-1) + [0; 0.007*randn()];
end
Y = [0.53 0.47; -0.47 1.47] * X;
figure
plot(1:T, [X; Y])
legend('k','z','c','h')

Ovviamente in pratica, dovresti probabilmente ricalcolare l'intera soluzione, inclusa la decomposizione degli autovalori, in modo da poter modificare i parametri, ecc.

NOVITÀ finali 20 marzo 2015 : ho inviato per e-mail il prof. K. Salyer, uno degli autori della Guida per l'utente. In una comunicazione ripetuta, ha verificato che entrambi i problemi (vedi la mia risposta di seguito, così come la risposta @ivansml), esistono:

a) L'equazione corretta per la legge del moto del consumo è come mostra @ivansml

b) Il numero è erroneamente chiamato "varianza" (p. 11) nel documento. In realtà, si tratta della deviazione standard , e in effetti una tale grandezza è una scoperta tipica nei dati (il prof. Salyer ha fatto riferimento a "p. 22 dal cap. 1 di Cooley e Frontiers of Business Cycle Research di Cooley e Prescott).$0.007$

Entrambi gli errori riguardano la versione stampata del documento. In altre parole, le simulazioni dietro la Figura 1 del documento sono corrette: usano l'equazione corretta per il consumo e usano come deviazione standard del disturbo nel processo tecnologico. Quindi è il secondo grafico sotto che è valido.$0.007$

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FASE A
Ho verificato mediante simulazione (e utilizzando la deviazione standard corretta) che il modello esplode, sebbene lo faccia verso l'alto anziché verso il basso. Ci deve essere un errore di calcolo nel documento, che tuttavia non è stato in qualche modo "trasmesso" alle simulazioni degli autori. Per il momento non riesco a pensare ad altro, poiché la metodologia è standard. Sono incuriosito e ci sto ancora lavorando.

FASE B
Dopo la risposta di @ ivansml, che ha identificato un errore nel documento (che apparentemente non è stato fatto nelle simulazioni degli autori) , penso di aver identificato un secondo errore, questa volta nelle simulazioni : ed è correlato se è una deviazione standard o un valore di varianza. $0.007$

In particolare: Usando il sistema di equazioni corretto e un disturbo casuale (cioè come scritto nel documento ) ottengo il seguente grafico dell'ultimo 120 realizzazioni per un totale di 3.000: $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.007), \implies SD = 0.0837$

Nota i valori sull'asse verticale: sono molto più grandi dell'intervallo di valori che appare nella Figura 1 nel documento degli autori.

Ma se generi disturbi secondo , allora ottengo $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.00049), \implies SD = 0.007$

Ora l'intervallo di valori corrisponde a quelli visualizzati nel grafico del documento. È possibile che la varianza corretta sia e che gli autori lo abbiano usato erroneamente come StDev, ma potrebbe anche essere che la varianza corretta sia e che la SD corretta sia . Quindi la simulazione era corretta (in linea con la stima ottenuta), ma per errore hanno chiamato nel documento "Varianza" quello che dovrebbe essere chiamato "Deviazione standard".$0.007$$0.000049$$0.007$

Tenterò di contattare gli autori su queste due questioni.