Richiesta marshalliana per Cobb-Douglas

Quando ho cercato di massimizzare l'utilità con una funzione di utilità cobb-douglas , con , ho trovato le seguenti formule ( Wikipedia: Marshallian Demand ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

In uno dei miei libri trovo anche queste formule per lo stesso scopo:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Con : prezzi della merce; : budget $p_i$ $m$

Li ho testati tutti e hanno prodotto gli stessi risultati.
Quindi ci sono differenze?

— user1170330
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fa riferiscono a esclusivamente? a

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Puoi chiarire qualche nota? Nel secondo esempio, aeb sono gli esponenti nella funzione di utilità x1 e x2? Sommano a 1? Y nel primo problema è uguale a m nel secondo?

— Sabato

@Jamzy: Sì, lo fa.

— user1170330

@BKay: consulta le mie notazioni aggiornate.

— user1170330

Risposte:

Poiché le equazioni sono esattamente le stesse. Sostituendo a a con nella terza e quarta equazione si ottengono la prima e la seconda equazione. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
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Queste formule possono anche essere modificate per funzionare con una funzione di utilità come

? Quindi con un numero aggiuntivo prima di

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— user1170330

Suggerisco di porre questa domanda come una nuova domanda.

— Sabato

E se

? Dovrei usare la formula 3 e 4 in questo caso?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 se

funziona ancora

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

Ecco come si ottiene dalla prima equazione alla seconda. la tua funzione di utilità è poiché cambierò leggermente in a e (1-a) Per ottimizzare queste due scelte, devi massimizzare l'utilità, scrivere le variabili scelte. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

soggetto a usando la legge di Walras. Fondamentalmente, al fine di ottimizzare l'utilità, verranno spesi tutti i soldi. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Le funzioni di Cobb-Douglas sono generalmente difficili per problemi di ottimizzazione. È possibile utilizzare una trasformazione monotonica che preserva le proprietà ordinali della funzione.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Questo sarà usato invece. Verrà applicato lo stesso vincolo di budget.

Le condizioni di Lagrange e del Primo Ordine sono di seguito

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

la manipolazione delle condizioni del Primo ordine risulta in

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

sostituendo il vincolo di budget $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Utilizzando questi risultati, possiamo elaborare i gruppi di consumo ottimali di e per un determinato prezzo, combinazione di ricchezza. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
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