Quali sono le preferenze di translog? L' articolo di Wikipedia chiarisce solo che rappresenta le preferenze logaritmiche trascendentali e che sono una generalizzazione delle preferenze di Cobb-Douglas.
Hanno funzionalità speciali che lo rendono più attraente? Non li ho mai visti usati in Macroeconomia.
Risposte:
La funzione translog può essere utilizzata non solo nelle preferenze ma anche nelle funzioni di produzione e di costo. Non ho molta familiarità con le sue implicazioni nella teoria del consumatore, ma dal punto di vista della produzione, l'ho visto ampiamente usato.
La funzione Translog non impone additività e omogeneità, e quindi costante elasticità di sostituzione. Questo è interessante perché non richiede una sostituzione "regolare" tra gli input (nell'analisi della produzione). Immagino che nella teoria del consumatore l'interpretazione sarebbe simile.
Quindi, in sostanza, la funzione translog è meno restrittiva di un cobb-douglas. Se si impongono alcune restrizioni durante il calcolo dei parametri della funzione translog, si ottiene una funzione cobb-douglas. Ecco perché è una "generalizzazione". In altre parole, il cobb-douglas è un caso specifico della funzione Translog che impone additività e omogeneità (cioè impone una costante elasticità di sostituzione).
Penso che l'altra risposta sia più completa della mia. Ma aggiungerò qualcosa che ritengo utile per te per avere una comprensione più ampia. Presumo che tu abbia familiarità con le curve di indifferenza. Ti rimando a questo sito (da dove ho preso i grafici), nel caso non lo fossi.
Una curva di indifferenza è solo una mappatura di tutte le combinazioni di due (o più) beni che ti danno la stessa utilità o "ti rendono felice allo stesso livello".
Innanzitutto, vedi questa curva di indifferenza:
Fig 1: fonte
Questa impostazione è nota come "complementi". Perché come puoi vedere, l'aggiunta di mille unità di buona x (che si sta spostando a destra), senza aggiungere una buona y (che non si sposta verso l'alto) non ti rende più felice: ti muovi lungo la curva di indifferenza. Pensa a questa come alla scarpa sinistra e alla scarpa giusta. È inutile avere altre mille scarpe sinistra senza aggiungere una scarpa giusta perché sono complementi perfetti .
Ora, guarda questo:
Fig 2: fonte
Questo si chiama "sostituti". È il caso opposto rispetto ai complementi. Puoi pensarlo come carne di manzo e pollo. Puoi cucinare usando solo carne di manzo oppure puoi sostituire e cucinare usando solo pollo. Ma puoi anche cucinare con una certa combinazione, diciamo 150 grammi di manzo e 100 grammi di pollo perché sono sostituti perfetti (mi dispiace, non sono riuscito a trovare un esempio migliore ma questo è il punto).
Ora, questi casi estremi rendono più facile immaginare tutte le impostazioni che sono "nel mezzo". Cioè, due tipi di bene che non sono complementi perfetti né sostituti perfetti. Pensa a cibo e bevande. Non possono essere sostituti perfetti perché non puoi avere un sacco di cibo senza bevande. Non sono complementi perfetti neanche perché il mix di cibo e bevande non è fisso. Per questa impostazione il cobb-douglas potrebbe essere una bella approssimazione come si può vedere nella figura seguente:
Fig 3: fonte
Ora, la funzione di utilità Cobb-Douglas non risolve tutto, poiché impone determinati vincoli per costruzione. Ad esempio, la linea che va dall'origine attraverso tutte le curve (il percorso di espansione) è di 45 ° e dritta per costruzione : non può essere modificata. Ciò significa che man mano che diventi più ricco (anche infinitamente ricco), le tue preferenze su questi beni rimangono costanti. Il nome formale è omoteticità o preferenze omotetiche . Questo è empiricamente falso, poiché è stato dimostrato che più sei ricco, usi una quota minore del tuo reddito per il cibo. Con le preferenze di Cobb-Douglas, questo non può succedere. Le preferenze di Translog allentano questa ipotesi.
Nella figura successiva, hai una mappa delle utility che rilassa l'assunto di omoteticità:
Fig 4: fonte
Pensate a questo grafico come buon y essendo cibo e buon x essere divertimento. Man mano che diventi più ricco (o più lontano dall'origine), destinerai più del tuo reddito all'intrattenimento.
Infine, parlerò dell'elasticità della sostituzione che è conosciuta come (sigma) che può essere immaginata come la curvatura della curva di indifferenza. Nella figura 1, i complementi perfetti : nessuna curvatura. Nei sostituti perfetti, : straigt line. In Cobb-Douglas, : una leggera curvatura. Tuttavia, man mano che diventi più ricco (distante dall'origine), questa elasticità di sostituzione rimane costante nelle tre impostazioni. Anche nelle preferenze non omotetiche viste in Fig 4, l'elasticità della sostituzione rimane costante. Queste sono le preferenze ** di elasticità costante di sostituzione (CES) **. Ma cosa succede se permetti alla curva di avere forme diverse man mano che diventi più ricca? Guarda la Fig 5:
In questo esempio, le curve di indifferenza diventano sempre meno elastiche. Quindi, non sono preferenze CES. Il vantaggio delle preferenze di Translog è che, dal momento che non si impongono né CES né omoteticità, è possibile verificare questa ipotesi con i dati osservati. Puoi vedere che la funzione dell'utilità Translog è molto meno restrittiva rispetto alle preferenze di Cobb-Douglas.
Come osservazione finale, dirò che può non essere il caso di non rifiutare l'ipotesi di omoteticità, CES e in un set di dati del comportamento osservato. Questo ti lascerebbe nelle impostazioni delle preferenze di Cobb-Douglas. Quindi, usando Translog non devi necessariamente escludere Cobb-Douglas.
gli autori hanno introdotto la funzione CES per generalizzare la funzione di produzione di Cobb-Douglas per quanto riguarda l'elasticità del parametro di sostituzione, che nel caso CES non è vincolato ad essere uguale all'unità come nel caso del CD. Ma è costante in tutto lo spazio di input.
ha introdotto la specifica " translog " scrivendo nell'introduzione, (grassetto mio accento),
"... la classe di frontiere delle possibilità di produzione che sono omogenee e additive .... coincidono con la classe di frontiere con costanti elasticità di sostituzione ... Per più di un prodotto o più di due fattori di produzione , costanza di elasticità di la sostituzione e la trasformazione sono altamente restrittive ... Il nostro approccio è quello di rappresentare la frontiera della produzione con funzioni quadratiche nei logaritmi delle quantità di input e output. Queste funzioni forniscono un'approssimazione locale del secondo ordine a qualsiasi frontiera della produzione ... "
e più tardi
"Il nostro obiettivo è quello di sviluppare test della teoria della produzione che non impieghino l'additività e l'omogeneità come parte dell'ipotesi mantenuta ."
Si noti con attenzione che per "omogeneità" gli autori chiariscono che significano omogeneità di grado uno (ovvero "rendimenti di scala costanti"), mentre in modo corretto e matematico, una funzione omogenea può avere qualsiasi grado di omogeneità.
Inoltre, Christensen et al. notare che "additività" nel loro approccio equivale al concetto di "forte separabilità" nel contesto dell'utilità.
In un contesto di utilità il "risultato" è uno -utilità- e, in macroeconomia, l'approccio predominante ha un solo input (consumo). In tale quadro non ha senso utilizzare il translog.
Nel caso in cui vogliamo modellare anche la scelta del lavoro per il tempo libero, e facciamo funzionare l'utilità, bivariata, quindi nelle specifiche teoriche utilizziamo prevalentemente preferenze separabili .
La specifica del translog ha un focus più empirico. Stimando una specifica di translog, si ottengono stime di coefficienti che possono essere utilizzate per testare se l'additività e l'omogeneità sono contenute nei dati, mentre nelle funzioni CD e CES queste proprietà non sono verificabili. Un altro vantaggio è che la specifica del translog è adatta per una situazione con molti ingressi / molte uscite.
Jorgenson e Lau si sono trasferiti per applicare la funzione translog a un contesto di utilità in Jorgenson, Dale W. e Lawrence J. Lau. (1975), "La struttura delle preferenze del consumatore". Annali di misurazione economica e sociale, volume 4, numero 1. NBER, 1975. 49-101.
Loro scrivono
"Impiegando funzioni di utilità di translog diretto e indiretto con preferenze variabili nel tempo, possiamo testare restrizioni di additività, omoteticità e stazionarietà piuttosto che mantenere tali restrizioni sulle preferenze come parte del nostro modello econometrico."