Che cos'è un sostituto / complemento in termini di derivati ​​parziali misti?

Sto cercando di capire come la sostituibilità si riferisce a derivati ​​parziali misti. Ho pensato che il cambiamento nell'utilità marginale rispetto a un cambiamento nella quantità di corrispondesse a quindi mi sono confuso quando ho preso il parziale di quello rispetto a . Questo misurare il tasso di MU cambia WRT come cambiamo ? Che relazione c'è con l'essere un sostituto?$x$

È molto importante qui notare che ci sono più possibilità, reciprocamente incoerenti, su come definire un sostituto / complemento.

Un modo per dire che ed sono complementi se un aumento aumenta l'utilità marginale di (o, data la simmetria delle parziali miste, viceversa): Questo è il suggerimento nella risposta di foobar.y y x ∂ 2$x$$y$$y$$x$

Un altro modo per dire che ed sono complementi se una diminuzione del prezzo di aumenta il hicksiano (alias compensata) della domanda di . Poiché la domanda di Hicksian è la derivata della funzione di costo (nota anche come spesa) dal lemma di Shephard , ciò può anche essere espresso come condizione sui parziali misti: Questo è il suggerimento nel commento di Snoram ed è il concetto più comunemente insegnato in microclassi.y y x ∂ 2$x$$y$$y$$x$

Queste definizioni non sono equivalenti! In effetti, in ogni caso con solo due beni, questi due beni devono essere sostituiti secondo (2), indipendentemente dal fatto che la parte trasversale di in (1) sia positiva o meno.$U$

Si possono dare etichette fruttuose a questi concetti (sebbene queste etichette siano più comuni nel caso della produzione piuttosto che delle funzioni di utilità). Seguendo Hicks, possiamo chiamare complementi per definizione (1) q-complementi : se ed sono q-complementi, un aumento della quantità di porta ad un aumento del valore marginale di . Nel frattempo, possiamo chiamare complementi per definizione (2) p-complementi : se ed sono p-complementi, una diminuzione del prezzo di porta ad un aumento della domanda di . Vedi, per esempio,y y x x y y $x$$y$$y$$x$$x$$y$$y$$x$Seidman (1989) per una breve panoramica.

Entrambi i concetti sono utili in diverse situazioni: dipende da ciò che ti interessa!

Nota più tecnica: potresti notare che (1) e (2) non sembrano molto simili tra loro: (2) è un concetto compensato , che ci mantiene sulla stessa curva di indifferenza, mentre (1) non lo è. Questa è una critica valida, e in effetti esiste una nozione alternativa di "complementi q" che viene compensata, e una nozione di "complementi p" che non lo è.

La nozione compensata di complementi q, che è probabilmente più rilevante per la maggior parte delle applicazioni della teoria del consumatore rispetto a (1), chiede se il ritorno marginale a aumenta all'aumentare di , rimanendo sulla stessa curva di indifferenza. (È più rilevante per la teoria del consumatore perché non dipende dalla cardinalità intrinsecamente ambigua di In effetti, apparentemente Hicks ha introdotto questo come la definizione di teoria del consumatore di "complementi q" nella sua teoria della revisione della domanda del 1956y $x$$y$$U$, anche se non ne ho una copia da solo.) Questa nozione ha anche una caratterizzazione parziale mista, in termini di qualcosa chiamata funzione di distanza, che è un fantastico strumento di micro-teoria che nessuno impara più; la matrice di parziali misti della funzione di distanza è chiamata matrice Antonelli ed è un inverso generalizzato dell'amata matrice di Slutsky.

Se volessimo pensare ad altre versioni di p-complementi, ci sono diverse opzioni. Un modo è mantenere costante il reddito e dire che e sono complementari se una diminuzione del prezzo di aumenta la domanda marshalliana di . Questa è una nozione valida (chiamata complementarietà "grossolana" piuttosto che "netta"), ma non è molto bella perché non è simmetrica (a causa degli effetti del reddito) e quindi non ha una caratterizzazione parziale mista.y y $x$$y$$y$$x$

Un altro modo migliore è di mantenere costante l' utilità marginale della ricchezza (questo è chiamato domanda "Frisch", ed è l'analogo della teoria del consumatore della massimizzazione del profitto, che mantiene il prezzo della produzione costante), e quindi chiedere se una diminuzione del prezzo di porta ad un aumento della domanda di . Ciò dipende dalle voci nell'inverso della matrice hessiana dei parziali misti di , rivelando una relazione inversa con (1) (che dipende dalla matrice stessa dell'Assia) che è parallela alla relazione inversa sopra annotata tra le matrici Antonelli e Slutsky.x $y$$x$$U$

Pensa a due beni che dovrebbero essere indipendenti. Di ', scarpe e giochi per computer.y $x =$$y =$

Complementi implicano complementarità: Si può godere di più, quando si hanno più . Da qui un derivato incrociato positivo.$y$$x$

Un modo di frase che è con utilità non separabile: . Un'alternativa è quello che è stato specificato: A margine , avendo permette di godere più.x $U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$$x$$y$

Con le nostre scarpe e giochi per computer, sicuramente il derivato incrociato è 0. Con gelato e cucchiai, molto probabilmente è positivo: avere un cucchiaio aumenta il vantaggio marginale che si ottiene dal gelato, quindi una correlazione incrociata positiva.

Infine, pensa al cioccolato e al gelato. Si potrebbe obiettare che funzionano come sostituti (si pensi al deserto, per esempio): o vuoi l'uno o l'altro. Se li ottieni gratis , certo, non fa male avere entrambi. Ma se devi pagare prezzi equi, preferisci pagare il prezzo per una delle scelte e attenersi a quello.