Prendi-o-lascia-lascia PBE

Ho trovato una domanda interessante guardando l'equilibrio perfetto-bayesiano. Non ho visto una domanda in cui le credenze non sono discrete.

Esiste un singolo potenziale acquirente di un oggetto che ha valore zero per il venditore. La valutazione v di questo acquirente è distribuita uniformemente su [0, 1] ed è informazione privata. Il venditore nomina un prezzo che l'acquirente accetta o rifiuta. $p_1$

Se accetta, l'oggetto viene scambiato al prezzo concordato e il guadagno dell'acquirente è $v − p_1$ e il venditore lo è $p_1$ .

Se rifiuta, il venditore fa un'altra offerta di prezzo, p2. Se l'acquirente accetta questo, il suo pagamento è $\delta_(v − p_2)$ e il venditore lo è $\delta p_2$ , dove $\delta = 0.5$ .

Se rifiuta, entrambi i giocatori ottengono zero (non ci sono ulteriori offerte).

Trova un perfetto equilibrio bayesiano.

Il mio approccio abituale è quello di fissare le credenze, ma non so come farlo con credenze continue. Qualche consiglio?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Brian
fonte

Spiacente, non riuscivo a pensare a un modo semplice per dare consigli parziali. Questo è un bel esercizio. Ti dispiacerebbe (o il creatore) se lo usassi in classe?

— Giskard,

Certo, sentiti libero!

— Brian,

Dopo aver pubblicato una cattiva soluzione ieri credo di averne una migliore:

La strategia dell'acquirente consiste in due funzioni, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ dove entrambe le funzioni sono mappate $\left\{A,R\right\}$ (dove $A$ sta per accettare, $R$ per Rifiuta). La strategia del venditore è $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ . Ottieni la soluzione tramite induzione all'indietro. In PBE $f_2(v,p_1,p_2)$ mappe a $A$ se e solo se $v \geq p_2$ . (C'è un margine di manovra insignificante all'uguaglianza.) In PBE il venditore crede che ci sia un set $H$ dei tipi per i quali l'acquirente ha rifiutato la sua offerta $p_1$ . Poi

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ L'acquirente accetterà l'offerta

p_{1}

$p_1$ se e solo se

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$ Da questo si ottiene

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$ Il lato sinistro di questa equazione sta aumentando

v

$v$ , quindi accetteranno tipi con valutazioni elevate. Ciò significa che in PBE il set

H

$H$ è tale che

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$ Da questo otteniamo l'ottimale

p_{2}

$p_2$ dato

\bar{v}

$\bar{v}$ :

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$ In PBE

\bar{v}

$\bar{v}$ è una funzione di

p_{1}

$p_1$ :

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ così

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$ Abbiamo determinato tutte le strategie PBE ma

p_{1}

$p_1$ . Il profitto atteso del venditore è

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$ dove

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$ Sostituendo questo otteniamo

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Devi massimizzare questo wrt $p_1$ . Con $\delta = 0.5$ ho ottenuto

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
fonte

Sento che questa domanda può anche essere interpretata come un'azienda che cerca di esaminare i consumatori di diverse valutazioni rappresentate come intervallo di unità chiuso. Lo schema di prezzi ottimale prevede di stabilire due prezzi in modo che i clienti con valutazioni elevate paghino a un prezzo più elevato nella prima fase e alcuni di quelli con valutazioni basse paghino a un prezzo inferiore nella seconda fase.

— Metta World Peace,

Devi spiegare perché le utilità sono diverse nel round 2. Per il venditore potrebbe essere un semplice sconto, ma per l'acquirente? Se il bene fosse durevole, i tipi che acquistano il bene riceverebbero dei benefici in entrambi i round.

— Giskard,

Non lo seguo del tutto. Perché gli acquirenti non possono scontare l'utilità derivata al secondo turno? Questo può essere interpretato come una riduzione dei prezzi a due periodi, giusto?

— Metta World Peace,

Imbarazzante ma non ho mai sentito parlare di questo modello fino ad ora. Hai ragione, questo descrive bene il gioco sopra.

— Giskard,

Hai detto che l'acquirente accetterà

p_{1}

$p_1$ se e solo se

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$ ma l'acquirente non rifiuterà se entrambi

p_{1}

$p_1$ e

p_{2}

$p_2$ sono maggiori di

v

$v$ , indipendentemente dal fatto che la disuguaglianza di cui sopra sia soddisfatta?

— Franklin Pezzuti Dyer,