Come si ricava l'elasticità della sostituzione?

Per due beni ed , l'elasticità di sostituzione è definito come $x$ $y$

σ \equiv \frac{d \log (\frac{y}{x})}{d \log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x}}}{\frac{d (\frac{U_{x}}{U_{y}})}{\frac{U_{x}}{U_{y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Sono confuso da due cose:

Perché scriviamo solo ? Cosa stiamo differenziando rispetto a? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Come posso usarlo per mostrare la relazione di cui sopra?

Qualcuno può spiegare?

elasticity

— Stan Shunpike
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Come derivare l'elasticità della sostituzione

Il primo passo è ricordare la definizione di un differenziale. Se hai una funzione , diciamo, , quindi: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

d \log v = \frac{1}{v} d v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

$v = \tfrac{y}{x}$

d \log (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

$v = \tfrac{U_x}{U_y}$

d \log (U_{x} / U_{y}) = \frac{d (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

In altre parole, se riduci il problema a (1) capire la definizione di differenziale e (2) usi un semplice cambio di variabile , il problema diventa molto semplice.

Quindi ottieni

σ \equiv \frac{d \log (\frac{y}{x})}{d \log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (y / x)}{(y / x)}}{\frac{d (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

A PARTE:

$d(y/x)$

d (y / x) = \frac{x d y - y d x}{x^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Questo ha senso perché

d \log (y / x) = d \log (y) - d \log (x) = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

E se calcoli

d \log (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)} = \frac{\frac{x d y - y d x}{x^{2}}}{y / x} = \frac{x d y - y d x}{x y} = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

Cos'è l'elasticità della sostituzione?

$MRS$

— Stan Shunpike
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