Preferenze di Leontief

Posso risolvere la maggior parte dei problemi di massimizzazione dell'utilità usando le mie conoscenze matematiche ... ma non quando si tratta delle preferenze di Leontief. Non ho un libro su cui appoggiarmi (sto studiando da solo), quindi vorrei davvero un aiuto. Come si risolve un problema di massimizzazione generale come dove è reddito e è il prezzo per sempre ?

max [α X_{1}, β X_{2}, γ X_{3}] soggetto a λ_{1} X_{1} + λ_{2} X_{2} + λ_{3} X_{3} = M

$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$

M

$M$

λ_{i}

$\lambda_i$

i

$i$

Davvero, tutto quello che so su derivati e pendenze va fuori dalla finestra con questa dannata cosa. Se qualcuno mi dicesse quali fossero i prezzi e le entrate, la scelta ottimale, quando ci sono solo pochi beni, potrebbe essere trovata semplicemente applicando il buon senso, ma che dire del caso generale? Non esiste una "formula" generale come quella delle funzioni di Cobb Douglas e CES? Esiste un metodo di riferimento che utilizziamo in questi casi?

— John Gattner
fonte

Per le preferenze di Leontief, non c'è un minoperatore o un tale disperso?

— FooBar,

Manca un operatore prima della parentesi. Il problema di massimizzazione dell'utilità è il seguente, Considerare il caso di due beni con utilità forniti da . Al massimo, cosa sai della relazione tra e ? Devono essere uguali, ovvero Per se no, quindi supponiamo senza perdita di generalità che . Qual è l'utilità di tali scelte di e ? Dev'essere $\min$

max min [α X_{1}, . . ., γ X_{3}] tale che λ_{1} X_{1} + . . . + λ_{3} X_{3} = M

$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$

u

$u$

u (x) = min [α x_{1}, β x_{2}]

$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$

α x_{1}

$\alpha x_1$

β x_{2}

$\beta x_2$

α X_{1} = β X_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

α x_{1} > β x_{1}

$\alpha x_1 > \beta x_1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

β x_{2}

$\beta x_2$ , il che significa che parte del tuo denaro viene speso in (supponendo che i prezzi siano strettamente positivi) ma non ti dà alcuna utilità aggiuntiva, quindi non può essere una scelta ottimale di consumo.

x_{1}

$x_1$

Ne consegue che l'uguaglianza deve essere ottimale (anche questo è evidente graficamente). Insieme al vincolo di bilancio, che ti dà due equazioni e due incognite, che possono essere risolti per un consumo ottimale. Un approccio simile può essere applicato al caso di merci. $n$

Naturalmente sopra si assume che stiamo trattando un banale problema di massimizzazione dell'utilità e che non stiamo facendo una programmazione intera e simili.

— Jaood
fonte

Penso che dà 3 equazioni e 3 incognite: , , e . Corretta?

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

β x_{2} = γ x_{3}

$\beta x_2 = \gamma x_3$

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + p_{3} x_{3} = M

$p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 = M$

— Mathemanic,