Bias OLS nella stima della domanda: il bias sottostima sempre l'elasticità della domanda?

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Alcuni articoli sostengono che OLS può produrre meno distorsioni rispetto alla stima IV a seconda della qualità dei tuoi strumenti. Supponiamo di considerare un'equazione di stima della domanda.

Supponiamo che l'elasticità della domanda sia negativa in OLS. Secondo la mia intuizione, strumenti deboli dovrebbero produrre stime distorte verso OLS, ma non per questo meno negative. Ragazzi, potete fare un esempio? Non riesco davvero a capire come potrebbe portare a una stima più distorta con la stima IV.

econometrics

— John Doe
fonte

IV è parziale ma coerente, quindi immagino che la tua affermazione sia vera. ma suppongo che tutto dipenda dai tuoi obiettivi. previsione vs inferenza.

— user157623

Quali sono alcuni "articoli" (preferibilmente ben noti o di tipo "recensione accesa") a cui fai riferimento nella prima frase? Sono interessato a guardarli. Grazie.

— Kim Jong Un

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Di solito, . Il denominatore andrà a zero. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Ciò è vero a meno che non vi sia una certa correlazione tra lo strumento e il termine di errore, e il nominatore è la forza della relazione tra lo strumento e la variabile endogena. Più piccolo diventa il denominatore, maggiore è il bias . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Inoltre, uno strumento debole non avrà precisione, quindi la varianza avrà una grande inclinazione verso l'alto.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

Come $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Ecco perché se il tuo strumento è debole, allora potresti fare meglio a eseguire una regressione OLS.

— Nox
fonte

Nell'equazione per la prima varianza dello stimatore IV, credo che manchi la varianza di quella beta imparziale - giusto? Assegnate la varianza solo alla porzione correlata alla distorsione dello stimatore IV. Se sbaglio, ti prego di spiegarmi cosa mi sto perdendo.

— John Doe,

La riga che segue " " non è esattamente la varianza (anche il numeratore manca la notazione quadrata, solo un refuso). Il denominatore è casuale (perché è endogeno) e la varianza è molto più complicata.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142,

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Gli strumenti deboli combinati con una leggera endogeneità strumentale possono portare a una distorsione maggiore rispetto a OLS. Come mostra la risposta di Nox, il limite di probabilità dello stimatore IV è . Quando sebbene piccolo, se è piccolo, allora il bias può essere grande. Vedere l'osservazione di Bound, Jaeger e Baker (1995, JASA) dopo l'equazione (7) a pagina 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"È chiaro dall'equazione (7) che una debole correlazione tra la variabile potenzialmente endogena, , e gli strumenti, , aggraverà eventuali problemi associati alla correlazione tra lo strumento e l'errore, . Se la correlazione tra il lo strumento e la variabile esplicativa endogena sono deboli, quindi anche una piccola correlazione tra lo strumento e l'errore può produrre una maggiore incoerenza nella stima IV di rispetto alla stima OLS. " $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Senza endogeneità strumentale, non credo che il pregiudizio dello stimatore IV (della distribuzione del limite, potrebbe non esserci alcun limite di probabilità) sia maggiore dell'inconsistenza di OLS.

Un'altra cosa da considerare è che la varianza dello stimatore IV usando strumenti molto deboli può essere grande anche con una molto grande , e quindi potresti avere una stima IV più assurda di OLS per un set di dati per caso. $n$

— chan1142
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