Ottimizzazione dinamica: cosa succede se la condizione del secondo ordine non è valida?

Considera il seguente problema di ottimizzazione dinamica

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

bandiere di comodo

L'hamiltoniano è dato da

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ Le condizioni necessarie per l'ottimalità sono date dal massimo principio $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Supponiamo che $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ sia un massimizzatore, ovvero $H_{uu} < 0$ .

SOC

Il Teorema della Freccia Sufficiente afferma che le condizioni necessarie sono sufficienti se l'hamiltoniano massimizzato

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ è concavo in $x$ , ovvero se $H_{xx} < 0$ .

Problema

Supponiamo che i FOC siano in possesso, ma il SOC non riesce.

• Cosa si può dire dell'ottimalità della soluzione?

Non esiste una sola risposta, dipenderà dai dettagli di ciascun problema. Diamo un'occhiata a un esempio standard.

Considera il problema di ottimizzazione intertemporale di riferimento per il modello Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Il valore attuale è hamiltoniano

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Massimizzando solo su abbiamo$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

e la condizione del 2 ° ordine rimarrà se la funzione di utilità è concava,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Inoltre, dalla condizione di primo ordine rispetto al consumo, se vale la non sazietà locale. Supponiamo di avere tali "solite" preferenze.$\lambda >0$

Il massimo consumo oltre Hamiltoniano è

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Le derivate parziali rispetto alla variabile di stato, sono$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Quindi, qui, la condizione di sufficienza di Arrow-Kurz si riduce a se il prodotto marginale del capitale è in diminuzione, costante o crescente (che dipenderà dal segno del secondo derivato della funzione di produzione). Nel caso standard e abbiamo le condizioni sufficienti.$f''(k) < 0$

Nel caso più famoso di deviazione, il modello di Romer che ha avviato la letteratura sulla crescita endogena, , e il prodotto marginale del capitale è una costante positiva.$AK$$f''(k) =0$

Quindi cosa possiamo dire in questo caso?

Qui, Seierstad, A. e Sydsaeter, K. (1977). Condizioni sufficienti nella teoria del controllo ottimale. Revisione economica internazionale, 367-391. fornire vari risultati che possono aiutarci.

In particolare, dimostrano che se l'Hamiltoniano è congiuntamente concavo in e , è una condizione sufficiente per un massimo. L'Assia dell'Hamiltoniano è$c$$k$

(possiamo ignorare il termine di sconto)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

Nel caso standard con questa è una matrice definita negativa e quindi l'Hamiltoniano è strettamente concavo in e . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Quando , verificare che la matrice sia negativa-semidefinita è semplice usando la definizione. Prendi in considerazione un vettore e il prodotto$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

questa debole disuguaglianza contiene , e quindi l'Assia è congiuntamente concava in e .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Quindi, nel modello di crescita endogena, la soluzione è davvero un massimo (soggetti ai vincoli dei parametri necessari affinché il problema sia ben definito, ovviamente).$AK$