Indovina e verifica

Nella programmazione dinamica, il metodo dei coefficienti indeterminati è talvolta noto come "indovina e verifica". Ho periodicamente sentito che ci sono ipotesi canoniche che si potrebbero fare.

In particolare, ho visto

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Il primo si applica all'utilità di registro mentre il secondo è correlato alle preferenze di CRRA. Quali altre ipotesi canoniche esistono e sono generalmente legate alla particolare forma della funzione di ritorno?

Modifica : per coloro che non hanno familiarità con i programmi dinamici, quello che stiamo cercando di fare qui è creare forme chiuse per i coefficienti ( ad es. e ). Per semplificare eccessivamente, l'equazione funzionale in genere assume la forma generica , dove descrive l'evoluzione della variabile di stato . Fondamentalmente, il valore di essere nello stato oggi dipende dalla funzione di ritorno di oggi e da un valore scontato di qualunque sarà domani . $A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ rappresenta qualsiasi altra variabile non statale che ritieni influenzi il rendimento.

A volte è possibile ottenere una soluzione a forma chiusa per $V(k)$ (... nota: non risolviamo solo per $V(k)$ poiché il lato destro è una quantità massimizzata). Questo di solito implica sapere qualcosa sulla funzione di ritorno $F(k,u)$ e quindi fare un'ipotesi sulla forma funzionale di $V(k)$ . Possiamo quindi iterare per vedere se la nostra ipotesi produce una soluzione in forma chiusa per $V(k)$ . In particolare, ciò comprenderebbe forme chiuse per i coefficienti nell'ipotesi (da cui il metodo dei coefficienti indeterminati).

macroeconomics dynamic-programming

— Pat W.
fonte

Dipende dal tipo di dati che hai. In generale è possibile assumere quasi tutte le funzioni. Ma se pensi che i dati siano distribuiti come una funzione di utilità, allora puoi prendere In questo caso puoi linearizzare l'equazione: Per stimare i coefficienti e è possibile applicare il metodo dei minimi quadrati: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— callculus

@calculus Non sta chiedendo di stimare e . Sta chiedendo informazioni sulla programmazione dinamica e sul metodo di ipotesi e verifica come metodo per ottenere la funzione di valore che corrisponde a funzioni di utilità specifiche.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— cc7768,

@ cc7768 Questa domanda non è molto specifica. Non so che cosa intendesse l'OP con la programmazione dinamica in questo contesto. Volevo solo dare qualche suggerimento. Ho avuto l'impressione che l'OP non fosse sicuro di ciò che stava chiedendo. L'OP può apportare una modifica per chiarimenti.

— callculus,

Un'altra forma un po 'canonica è la funzione del valore per le preferenze sensibili al rischio quando il consumo segue una camminata casuale con deriva (ci sono anche versioni che includono il capitale - vedi Backus Ferriere Zin 2014).

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

Inizia con le preferenze fornite come Epstein-Zin con una funzione di equivalenza di certezza della forma : $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

quindi lasciarci dare $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

Prendere i registri ci dà le preferenze sensibili al rischio, come presentato in Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, ecc ...

Definire e quindi vediamo che: $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = \log (C_{t}) - β θ \log [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

La forma di questa funzione di valore può essere intuita come:

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

Riferimenti:

David Backus, Axelle Ferriere e Stanely Zin. Rischio e ambiguità nei modelli di cicli economici. Conferenza Carnegie-Rochester-NYU. Il 2014.
Lars Ljunqvist e Thomas J. Sargent. Teoria macroeconomica ricorsiva, 3a edizione. 2013.
TD Tallarini Jr. Cicli aziendali reali sensibili al rischio. Journal of Monetary Economics. Del 2000.
LP Hansen e TJ Sargent. Controllo gaussiano quadratico esponenziale lineare scontato. Controllo automatico IEEE Trans. 1995.

Commento aggiuntivo: i due casi presentati sono più o meno coperti dall'ipotesi poiché ciò si riduce ai registri come . Le ipotesi sono certamente legate alla particolare forma della funzione di ritorno poiché la funzione di valore è correlata alla funzione di ritorno (ricompensa) di un periodo ripetutamente ottenuta nel corso di una storia infinita (se il consumo fosse costante, si ridurrebbe a una somma geometrica). $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

— cc7768
fonte

Buon punto sulle preferenze del registro come caso speciale. Questa è un'ottima risposta, e ho intenzione di tenerlo aperto un po 'più a lungo per vedere se anche altri hanno altre forme canoniche.

— Pat W.