Crescita stocastica in tempo continuo

Letteratura: vedi Chang (1988) per la parte teorica e Achdou et al. (2015) rispettivamente per la parte numerica.

Modello

Considera il seguente problema di crescita ottimale stocastica nella notazione pro capite. tutto è standard tranne che per che è il incremento di un processo Wiener standard, ovvero . Il tasso di crescita della popolazione ha media e varianza .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Soluzione analitica

Supponiamo che la tecnologia di Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

e utilità CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Installa Hamilton-Jacobi -Equazione di Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

La prima condizione dell'ordine (FOC) recita

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ where

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ indica la funzione politica.

Sostituisci FOC in HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Immaginiamo una forma funzionale di con ( Posch (2009, eq. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

dove è una costante. La derivata del primo e del secondo ordine di è data da $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

HJB-e quindi legge

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

L'HJB-e ingrandito è vero se le seguenti condizioni contengono

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Sostituisci in che alla fine dà la funzione di valore reale $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Come mai non dipende da ? $v$ $\sigma$

Quindi la funzione del valore deterministico e stocastico deve essere la stessa. La funzione politica viene quindi prontamente fornita da (utilizzare FOC e derivata della funzione valore)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Nota che questa funzione non dipende neanche da . $\sigma$

Approssimazione numerica

Ho risolto l'HJB-e con uno schema controvento. Tolleranza errore . Nella figura seguente tracciamo la funzione politica per variare . Per arrivo alla vera soluzione (viola). Ma per la funzione politica approssimata si discosta da quella vera. Quale non dovrebbe essere il caso, poiché non dipende da , giusto? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Qualcuno può confermare che le funzioni di politica approssimativa dovrebbero essere le stesse per qualsiasi , poiché quella vera è indipendente da ? $\sigma$ $\sigma$

— senza tracce
fonte

Ciò che mi disturba qui è la prima condizione "iff" dopo aver scritto "l'HJB-e massimizzato è vero se valgono le seguenti condizioni": si tratta di una relazione di uguaglianza molto specifica che deve essere mantenuta tra tutti i parametri dei parametri modello- riferimento, crescita della popolazione, produttività del capitale e volatilità. Mi chiedo: possiamo davvero lavorare con funzioni indovinate la cui validità dipende da una condizione così ristretta sui parametri?

— Alecos Papadopoulos,

Bene, qui in realtà aggiusto in funzione dei quattro parametri rimanenti. Quindi l'equazione è sempre vera se in aggiunta vale . Mi chiedo: c'è qualche regola quando indovinare una funzione non è consentita? Voglio dire, siamo interessati a trovare la vera soluzione e in alcune condizioni specifiche otteniamo la vera soluzione. Non sono sicuro di cosa ti preoccupi qui da un punto di vista teorico? Certo, può limitare il lavoro empirico, ma non è questo il punto. Siamo piuttosto interessati a risolvere l'HJBe e questo può essere fatto. Se un empirista (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— all'oscuro il

stime e scopriamo che la condizione è violata, quindi potremmo rifiutare il modello. Tuttavia, la soluzione rimane vera in linea di principio. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— clueless

La mia preoccupazione non riguarda la validità empirica. Quello che mi chiedo è, fino a che punto l'ipotesi specifica sulla forma funzionale della funzione valore dipende da questa relazione tra i parametri. Senza riferimento a dati empirici, se assumiamo che la relazione non regge, che cosa succede? Dovremmo indovinare una funzione di valore che non è nemmeno esponenziale in , o basterebbe mantenere la struttura esponenziale ma provare diversi modi per includere i parametri in essa? (a proposito, sto anche esaminando la tua domanda principale, poiché questa discussione è probabilmente periferica)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

Sei sicuro che il problema di ottimizzazione sia indicato correttamente? Non vi è, ad esempio, aspettativa operata su dire, ? Come indicato ora, e quindi probabilmente assumono qualsiasi valore dato il processo di Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans,

Più di un commento:

Dovrebbe esserci un operatore di aspettativa nella dichiarazione del problema, altrimenti il problema non ha senso.

Che "... la funzione del valore deterministico e stocastico deve essere la stessa ..." non è del tutto corretta. Il valore di è cruciale nella restrizione $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Se , presumibilmente per e economicamente ragionevoli , nel qual caso il problema deterministico potrebbe essere mal posto. Ciò che è vero è che la funzione del valore stocastico assume la forma data solo se la limitazione del parametro è valida. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Factoring il termine Ito dal lato destro $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

la restrizione può essere scritta come

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

Sul lato destro, abbiamo un'elasticità del termine di sostituzione intertemporale e un termine di avversione al rischio . Ciò che dice la restrizione è che, con una particolare scelta di , si compensano, fino alla preferenza temporale e alla deriva . Pertanto la funzione valore è indipendente da . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Il fatto che la funzione valore sia indipendente da è un artefatto della restrizione e della scelta di CRRA . Non è vero in generale. $\sigma$ $u$

— Michael
fonte