Le preferenze monotoniche e continue sono necessariamente razionali?

X = R $\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

La razionalità di implicata da queste condizioni?$\succsim$

Penso che la transitività sia implicita nella continuità. Tuttavia, la completezza è preoccupante, in quanto vi sono elementi che non possono essere ordinati rispetto a o , e quindi non possiamo usare la monotonia per dimostrare che è completo.≤ ≥ $x,y \in X$$\leq$$\geq$$\succsim$

Ho pensato di costruire una sequenza con tale che e o . Poi per transitività e la continuità abbiamo potuto dimostrare che ed possono essere ordinati rispetto al , ma non pensare che è possibile costruire una tale sequenza. x 1 = x x n → $x_{n}$$x_{1}=x$$x_{n} \to y$$x_{n}\succsim x_{n+1}$$x_{n+1} \succsim x_{n}$$x$$y$$\succsim$

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato, ma ti preghiamo di dare suggerimenti e non soluzioni complete.

Considera una relazione di preferenza in tale che x = ( x 1 , x 2 ) ≿ ( y 1 , y 2 ) = $\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ e x 2 ≥ y 2 .$x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Potresti discutere se questa relazione di preferenza è strettamente monotona e continua.

2) La relazione sopra definita è completa?

Quindi, come contorno, potresti anche riconsiderare la tua affermazione che la continuità è la causa della transitività.

Nota: ho appena scritto questo in particolare con lo scopo di fornire un esperimento mentale. Più in un modo per sfidare la tua comprensione. Non sono sicuro che questo esempio fornisca o meno una risposta alla tua domanda.

La domanda è se la razionalità sia implicita dalla continuità e dalla monotonia. Per dimostrare che non è così, basterebbe un controesempio. Siamo quindi alla ricerca di una relazione di preferenza intransitiva, incompleta, monotona e continua.

Supponiamo che . Pertanto, formiamo le preferenze sui punti di una linea da ( 0 , 1 ) a ( 1 , 0 ) . Considera la relazione di preferenza definita da ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$ che altrimenti è incompleta.$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Razionalità

La razionalità consiste nella completezza e nella transitività della relazione di preferenza, definita come segue:

Completezza

Una relazione di preferenza è completa, se per tutte , abbiamo x ≿ y , y ≿ x o entrambi.$x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

, quindi la relazione di preferenza non è completa.$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

transitività

Una relazione di preferenza è transitiva, se e y ≿ z implicano x ≿ z .$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

e ( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , 1 ) stiva, ma ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 ) , quindi la relazione di preferenza non è transitiva.$(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Continuità

Una relazione di preferenza è continua se per tutte le sequenze converge in ( x , y ) con ∀ i : x i ≿ y i abbiamo x ≿ y .${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

La relazione di preferenza non viola la continuità. Considera una sequenza che converge in x , y . Queste sequenze possono essere tali solo x i = x ed y i = y e x ≠ y , poiché tutte le altre x i , y i o non convergono ad x , y , o non soddisfano x i ≿ y i . Ma chiaramente se x i ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$poi io x ≿ y .$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Monotonicità

Una relazione di preferenza è monotona, se implica x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

La relazione considera incomparabili tutti gli elementi di X , quindi la relazione di preferenza è monotona.$\geq$$X$

Pertanto, abbiamo una relazione di preferenza intransitiva, incompleta, monotona e continua.

Transitività di preferenze appelli a una qualche nozione "intuitivo" di "consistenza della mente umana", e si può affermare che le eccezioni sono le "eccezioni alla regola ", e così noi facciamo disporre di un adeguato regola astratta.

In confronto, la completezza è molto più di un "salto di fede". Si blocca in aria, derivante dal nulla, in relazione al nulla ( quindi la risposta alla tua domanda è no ). Forse può essere supportato da un'osservazione volgare che "se premi abbastanza una persona, alla fine ordinerà qualsiasi coppia gli metterai di fronte, anche se solo per sbarazzarti di te", ma ovviamente questo, guardando in pratica, non funzionerà mai in teoria.

Quindi definiamo l'esistenza della Completezza ... perché? Al fine di evitare problemi piuttosto ingestibili lungo la strada. Quanto sarà utile lavorare con preferenze non complete? Quanto sarebbe utile dire "Ho questo modello, può risultare, potrebbe non farlo, a seconda che le preferenze siano complete o meno" ... a che cosa serve? Saremmo quindi costretti a elaborare una regola di decisione alternativa : "Supponendo che le preferenze non siano complete, quindi se la persona incontra una coppia che non può ordinare ..." -che cosa fa ? Lanciare una moneta? Ma ciò renderebbe "incompletezza" equivalente all'indifferenza ...

Cos'altro? Questa linea di pensiero può essere molto stimolante, ma è anche molto stimolante e sicuramente rivoluzionaria, se davvero esiste un tale percorso o può essere creato. (A mio avviso, varie esplorazioni teoriche della varietà "sfocata" cercano di trovare una "via di mezzo" proprio per questo problema, dove considerano una situazione in cui la persona non ha preferenze complete, né è completamente "congelata" quando un "difficile "la coppia arriva).