Spiegazione intuitiva di

Qualcuno può fornire una spiegazione intuitiva del perché la matrice Slutsky moltiplicata per il vettore dei prezzi produce una matrice zero?

So che questo è vero, ma non capisco perché sia ​​vero. Qualcuno può aiutare qui?

Questa è una proprietà matematica generale della seconda matrice derivata / hessiana delle funzioni multivariate che sono omogenee di grado uno.

La funzione di spesa è omogenea di primo grado nei prezzi. Perché? Se tutti i prezzi cambiano nella stessa proporzione (che è il modo in cui controlliamo la proprietà matematica dell'omogeneità), i prezzi relativi non cambiano. Se i prezzi relativi non cambiano, la composizione quantitativa del pacchetto di consumo compensato a costo minimo per raggiungere una determinata utilità non cambia affatto . Quindi, poiché tutti i prezzi sono aumentati della stessa proporzione, le quote di bilancio rimangono invariate e le spese necessarie per raggiungere la stessa utilità aumentano nella stessa proporzione: omogeneità di primo grado.$E$

Dalla dualità, la domanda hicksiano vettore è il gradiente della funzione spese, .$H = \nabla_p E$

Il vettore della domanda di Hicksian ci fornisce le quantità di costo minimo richieste. A causa dell'omogeneità del grado uno della funzione di spesa, il prodotto interno del vettore di domanda di Hicksian per il vettore di prezzo è uguale alla funzione di spesa. Anche questo dovrebbe essere intuitivo: moltiplichiamo semplicemente ogni quantità richiesta per il prezzo unitario che deve essere pagato per essa, e sommando questi prodotti otteniamo la spesa totale che dobbiamo sostenere per acquisire il pacchetto a costo minimo per una determinata utilità.

$E = H\cdot p$$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

e deve essere così

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

$k$$k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Quindi il risultato deriva dall'omogeneità del grado uno della funzione di spesa. Esiste una spiegazione intuitiva, analogamente all'intuizione alla base dell'omogeneità del grado uno della funzione di spesa? Bene, il primo proviene direttamente dal secondo, quindi è difficile trovare un argomento intuitivo "separato". Si potrebbe dire informalmente che le quantità compensate richieste sono "indipendenti" dalla (non influenzata) dalla variazione dei prezzi quando i prezzi relativi rimangono gli stessi. Quindi, in termini geometrici, ciò significa che i vettori dei tassi di variazione delle quantità compensate richieste (che è ciò che contiene ogni riga della matrice di Slutsky), sono ortogonali al vettore dei prezzi.

Non so se lo considererai come una spiegazione, o piuttosto come una prova.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Detto in altro modo, poiché la domanda di Hicksian per qualsiasi bene non risponde a una variazione dei prezzi che mantiene gli stessi prezzi relativi, quindi se osserviamo il totale degli effetti individuali di queste variazioni di prezzo su un bene, dovremmo osservare un 0 cambio.

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$