Prezzo ombra vs costo marginale

C'è una differenza tra i due? Se è così puoi spiegarlo intuitivamente? Vedo risorse Internet che dicono che sono equivalenti, ma ho pensato di ricordare che qualcuno mi ha detto una volta che il prezzo ombra era diverso dal costo marginale, ma potrei non ricordare. Punti bonus se è possibile posizionare la definizione nel contesto di un'impostazione di non equilibrio.

$$\begin{eqnarray*} \min_x && w \cdot x \\ s.t. && f(x) = y. \end{eqnarray*}$$ $f(x) = y$

Tuttavia, ci sono altri problemi di ottimizzazione in cui il prezzo ombra è qualcos'altro, ad esempio nel problema di massimizzazione dell'utilità

$$\begin{eqnarray*} \max_{x,y} && U(x,y) \\ s.t. && p_x \cdot x + p_y \cdot y = m \end{eqnarray*}$$

i prezzi ombra corrispondono all'utilità marginale del denaro. (Si potrebbe sostenere che questo è il reciproco del costo marginale di produrre più utilità.)

Nessuno di questi esempi aveva a che fare con l'equilibrio, solo optima individuale.