Somma di funzioni omotetiche

Se due funzioni di utilità rappresentano preferenze omotetiche, anche la loro somma sarà omotetica?

Defn: una funzione è omogenea di grado k se per ogni diverso da zero α , h ( α x , α y ) = α k h ( x , y ) .$h:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$$k$$\alpha$$h(\alpha x, \alpha y)=\alpha^k h(x,y)$

Defn: una funzione è omotica se si tratta di una trasformazione monotonica di una funzione omogenea.

Lemma: Se è omotetico, cioè f = g ∘ u per alcuni strettamente crescente g e omogeneo u allora ∂ $f$$f=g\circ u$$g$$u$ è omogeneo di grado zero.

$$\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} = \frac{g'(u(x,y))\frac{\partial u}{\partial x}}{g'(u(x,y))\frac{\partial u}{\partial y}}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}}$$

Permettere

$u_1(x,y)=x+y$

$u_2(x,y)=\log(2x+y)$

$u_1$$u_2$

$u_3(x,y)=x+y+log(2x+y)$

$$MRS_{u_3}=\frac{\frac{\partial u_3}{\partial x}}{\frac{\partial u_3}{\partial y}}=\frac{1+\frac{2}{2x+y}}{1+\frac{1}{2x+y}}=\frac{2x+y+2}{2x+y+1}$$

Quindi, la somma delle funzioni omotetiche non è necessariamente omotetica.

Una preferenza omotetica significa che per alcune funzioni di utilità che rappresentano le preferenze,

$$u(\alpha x, \ \alpha y) = \alpha u(x, \ y)$$ $(x, \ y)$

$w$

$$u(x, \ y), v(x, \ y)$$ $$w(x, \ y) = u(x, \ y) + v(x, \ y)$$ $$\alpha w(x, \ y) = \alpha u(x, \ y) + \alpha v(x, \ y)$$ $$= u(\alpha x, \ \alpha y) + v(\alpha x, \ \alpha y)$$ $$= w(\alpha x, \ \alpha y)$$