Relazioni binarie per Cobb-Douglas

Sto rivedendo i vecchi midterms per preparare il mio prossimo seminario intermedio e ho risposto a questa domanda:

Sia $ \ alpha, \ beta \ in (0,1) $. Ora, $ f _ {\ alpha} $ e $ f _ {\ beta} $ su $ \ mathbb {R ^ 2} $ essere definito come $ f _ {\ alpha} (x) = x_1 ^ {\ alpha} x_2 ^ { 1 - \ alpha} $ e $ f _ {\ beta} (x) = x_1 ^ {\ beta} x_2 ^ {1 - \ beta} $

Ora, sia R una relazione binaria su $ \ mathbb {R_x ^ 2} $. Sia $ {x, y} \ sottoinsieme R _ + ^ 2 $ Abbiamo quello: $$ xRy \ leftrightarrow f _ {\ alpha} (x) \ geq f _ {\ alpha} (y) \ land f _ {\ beta} (x ) \ geq f _ {\ beta} (y) $$

Per quali combinazioni di $ \ alpha $ e $ \ beta $ è completa questa relazione binaria, per cui le combinazioni sono transitive e per quali combinazioni è continua.

I miei pensieri

• Sembra che questo possa essere completo solo se $ \ alpha = \ beta $ ma non riesco a completare la prova ogni volta che procedo con WLOG con $ \ alpha & lt; \ beta $ Qualcuno qui può offrire un tentativo di dimostrare formalmente che questo è completo se $ \ alpha = \ beta $?

• Penso che ogni volta che abbiamo xRy, yRz avremo necessariamente xRz. Questo è. E così, penso che questo sia transitivo per tutte le combinazioni di $ \ alpha, \ beta $. La mia dimostrazione implica l'uso del buon ordinamento dei reali e la definizione data per questa particolare relazione. Se qualcuno pensa che questo non sia vero per tutti $ \ alpha, \ beta $ fammi sapere perché / come.

• So cos'è la continuità e come dimostrarla. Tuttavia, non sono sicuro per quali combinazioni di $ \ alpha, \ beta $ questa relazione sia continua. Sospetto che sia continuo per tutte le combinazioni di $ \ alpha, \ beta $. È vero? Se è così, puoi provarlo?

Userò la seguente definizione di continuità per le relazioni binarie.

Definizione 1: Una relazione binaria $ \ mathcal {R} $ su $ \ mathbb {R} ^ 2 _ + $ è continua se per ogni $ x $, i seguenti set sono chiusi. $$ USC_x = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ 2_ + | y ​​\ mathcal {R} x \} $$ $$ LSC_x = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ 2_ + | x \ mathcal {R} y \} $$

Definizione 2: Un set $ Z $ è chiuso se $ z_n $ è una sequenza in $ Z $ e $ z_n \ rightarrow z $, quindi $ z \ in Z $.

Ora, $ \ mathcal {R} $ deve essere definito come nella tua domanda, ad es. $$ x \ mathcal {R} y \ iff f_ \ alpha (x) \ geq f_ \ alpha (y) \ text {e} f_ \ beta (x) \ geq f_ \ beta (y) $$ Lascia $ x \ in \ mathbb {R} ^ 2 _ + $. Sia $ x_n $ una sequenza in $ USC_x $ che converge in $ x ^ \ ast $. Quindi, per ogni $ n $, $$ f_ \ alpha (x_n) \ geq f_ \ alpha (x) \ text {e} f_ \ beta (x_n) \ geq f_ \ beta (x). $$ Poiché $ f_ \ alpha $ e $ f_ \ beta $ sono continui, abbiamo $$ f_ \ alpha (x ^ \ ast) \ geq f_ \ alpha (x) \ text {e} f_ \ beta (x ^ \ ast) \ geq f_ \ beta (x). $$ sottintendendo che $ x ^ \ ast \ in USC_x $; quindi $ USC_x $ è chiuso. Possiamo mostrare anche che $ LCS_x $ viene chiuso usando argomenti identici. Questo conclude che $ \ mathcal {R} $ è continuo.

Nota 1: Gli argomenti sopra riportati forniscono una strategia generale di analisi delle dichiarazioni riguardanti $ \ mathcal {R} $. La velocità di $ \ mathcal {R} $ può essere dimostrata in un paio di semplici passaggi. La tua affermazione riguardante questa proprietà è un po 'vaga e dovrebbe essere più rigorosa.

Nota 2: La tua spiegazione sulla completezza richiede anche un argomento chiaramente scritto. Mentre è vero che $ \ alpha = \ beta $ implica la completezza di $ \ mathcal {R} $, il ragionamento che lo rende vero non è esattamente quello che stai proponendo. È anche necessario mostrare che $ \ alpha \ neq \ beta $ implica che $ \ mathcal {R} $ non sarebbe completo (credo che dovrebbe essere così). Ciò richiederebbe un po 'più di lavoro da parte tua. Fammi sapere se ti imbatti in problemi in questo.

Linea di fondo: Secondo la mia sinceramente umile opinione, dovresti esercitare molto per dimostrare le cose. Magari prendi un libro sull'introduzione alla matematica astratta e così via.

Alcuni pensieri:

Per completezza, penso che tu possa fare un caso leggermente più forte che per ogni $ x_1 \ geq y_1, x_2 \ geq y_2 $, questo soddisfa la completezza $ \ forall \ alpha, \ beta $.

$$ x_1 ^ \ alpha x_2 ^ {1- \ alpha} \ geq y_1 ^ \ alpha y_2 ^ {1- \ alpha} $$ $$ x_1 ^ \ beta x_2 ^ {1- \ beta} \ geq y_1 ^ \ beta y_2 ^ {1- \ beta} $$

Per la continuità, ci sono due definizioni che puoi usare, una con le sequenze e una con le palle epsilon attorno a un punto della tua relazione binaria.

Ho risolto questo:

nota - Io uso $ R $ per indicare la relazione binaria come definito sopra.

Completezza :

Suppongo che questo $ R $ non sia completo per $ \ alpha \ neq \ beta $. Per illustrare, io uso un caso estremo.

Consentiamo $ \ alpha \ a 1 $ e $ \ beta \ a 0 $ s.t. $ f _ {\ alpha} \ approx x_1 $ e $ f _ {\ beta} \ approx x_2 $

Ora, lasciate [x, y] $ \ subset \ mathbb {R} ^ 2 $ s.t. $ x_1 & gt; & gt; y_1 $ e $ x_2 & lt; & lt; y_2 $

Ora: $ f _ {\ alpha} (x) \ approx x_1 & gt; & gt; y_1 \ approx f _ {\ alpha} (y) $

e: $ f _ {\ beta} (x) \ approx x_2 & lt; & lt; y_2 \ approx f _ {\ beta} (y) $

quindi $ f _ {\ alpha} (x) & gt; & gt; f _ {\ alpha} (y) $ ma $ f _ {\ beta} (x) & lt; & lt; f_ \ beta (y) $

Ho usato il ragionamento di casi estremi per dimostrare, WLOG, che in qualsiasi momento $ \ alpha \ neq \ beta \ space \ esiste [x, y] \ subset \ mathbb {R} _ + ^ 2 s.t. $ né $ xRy $ o $ yRx $

nota 1 - L'intuizione qui è molto simile a una prova delta / epsilon. Per qualsiasi combinazione di alfa e beta (dove i due non sono uguali) posso scegliere x, y in modo che la prova di cui sopra sia sempre valida.

nota 2 - Che il caso $ \ alpha = \ beta $ sia completo è banale. Presumo che la sua inclusione qui non sia necessaria.

transitività :

Sia $ [x, y, z] \ subset \ mathbb {R} ^ 2 $ s.t. $ xRi, yRx $

Io rivendico $ xRz $

da $ Xry $, $ yRx $ e dalle proprietà di $ \ mathbb {R} _ + ^ 2 $

$$ f _ {\ alpha} (x) \ geq f _ {\ alpha} (y) \ geq f _ {\ alpha} (z) $$ $$ f _ {\ beta} (x) \ geq f _ {\ beta} (y) \ geq f _ {\ beta} (z) $$

$$ \ implica xRz $$

e $ R $ è transitivo.

Continuità

dimostrato sopra, quindi non ripeterò questa parte della dimostrazione.