Equilibrio competitivo nelle economie Leontief

Prendi in considerazione un'economia in cui tutti i consumatori abbiano, possibilmente diversi, i servizi Leontief . Poiché le preferenze non sono strettamente convesse, non è garantito l'esistenza di un equilibrio competitivo. Ho trovato alcuni articoli che discutono del problema computazionale di decidere se un'economia Leontief ha un equilibrio competitivo, ma sono interessato ai risultati dell'esistenza generale:

A. Quali condizioni sulle economie Leontief garantiscono l'esistenza di un equilibrio competitivo?

B. In particolare, se le dotazioni iniziali sono uguali (ciascuno dei agenti riceve una frazione di ciascun bene), si garantisce che esiste un equilibrio competitivo? $m$ $1/m$

consumer-theory competitive-equilibrium

— Erel Segal-Halevi
fonte

@denesp perché hai eliminato la tua risposta? Mi ha quasi convinto ...

— Erel Segal-Halevi il

@denesp Ah, capisco! È un non esempio interessante :)

— Erel Segal-Halevi il

Puoi provare documenti sull'esistenza dell'equilibrio di Nash in giochi aggregati o grandi giochi anonimi. Un'economia walrasiana è un tale gioco (il vettore dei prezzi è l'azione aggregata) e un equilibrio walrasiano è un equilibrio di Nash. I teoremi di esistenza generalmente richiedono serie di azioni compatte e utilità continue.

— Sander Heinsalu,

Sembrerebbe che non esista un vero equilibrio. solo approssimativo quando e sono continui. @denesp come esistono gli equilibri quando ?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

p_{x} = 0

$p_x=0$

— EconJohn

@EconJohn Un esempio: LetAssumi le dotazioni iniziali di per ogni giocatore. Per ogni il pricevector è un vettore di prezzo di equilibrio. Ciò significa che, dato un simile prezzo, ogni consumatore ha un pacchetto di consumo così ottimale che la domanda per ciascun bene non supera l'offerta del rispettivo bene. L'importo richiesto di è banalmente per entrambi i giocatori. Per può essere qualsiasi numero che sia almeno . Quindi, ad esempio costituirebbe un equilibrio.

U_{A} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) and U_{B} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) .

$U_A(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2) \mbox{ and } U_B(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2).$

(3, 2)

$(3,2)$

p_{2} \in R_{+ +}

$p_2 \in \mathbb{R}_{++}$

(0, p_{2})

$(0,p_2)$

x_{2}

$x_2$

2

$2$

x_{1}

$x_1$

2

$2$

(2, 2), (4, 2)

$(2,2),(4,2)$

— Giskard

La convessità rigorosa delle preferenze non è necessaria nei risultati di esistenza per equilibri competitivi. Le preferenze di Leontief sono abbastanza ben educate. Sono continui, convessi e fortemente monotonici. Se tutte le dotazioni sono strettamente positive, l'esistenza di un equilibrio competitivo in un'economia di scambio (o un'economia di produzione che soddisfa condizioni standard) esiste dal primo risultato del documento originale Arrow-Debreu .

Arrow-Debreu in realtà non richiede solo convessità, ma fanno, come sottolineato da denesp in un commento, l'assunto di convessità (III.c) sulle funzioni di utilità che e implica . La convessità normale è sufficiente per l'esistenza, ma anche le preferenze di Leontief soddisfano la condizione (III.c) .: Supponiamo . Quindi $u(x)>u(x')$ $0<t<1$ $u(tx+(1-t)x')>u(x')$ $\min\{\alpha_i x_i\}>\min\{\alpha_i x_i'\}$

min {α_{i} (t x_{i} + (1 - t) x_{i}^{'})} > min {α_{i} t x_{i}} + min {α_{i} (1 - t) x_{i}^{'}}

$\min\big\{\alpha_i (tx_i+(1-t)x_i')\big\}>\min\big\{\alpha_i tx_i\big\}+\min\big\{\alpha_i(1-t) x_i'\big\}$

= t min {α_{i} x_{i}} + (1 - t) min {α_{i} x_{i}^{'}} > min {α_{i} x_{i}^{'}} .

$=t\min\{\alpha_i x_i\}+(1-t)\min\{\alpha_i x_i'\}>\min\{\alpha_i x_i'\}.$

— Michael Greinecker
fonte

Arrow-Debreu non richiede una convessità rigorosa a pagina 269 / III.c ?

— Giskard,

@denesp Quel presupposto si colloca tra convessità e convessità rigorose; alcune persone lo chiamano convessità forte. In particolare, è soddisfatto per le preferenze di Leontief (mentre non lo è la convessità rigorosa).

— Michael Greinecker,

Quindi con Leontief le preferenze CE esistono sempre? Questo mi fa meravigliare dei documenti che ho letto due anni fa. AFAIR affermano che decidere se esiste la CE è un problema computazionale difficile. Come può essere un problema difficile se la risposta è sempre sì? Devo rileggere questi documenti per scoprirlo.

— Erel Segal-Halevi,

@ ErelSegal-Halevi I link ad alcuni di questi documenti sarebbero belli!

— Giskard,

@denesp qui ci sono alcuni link: doi.org/10.1145%2F1109557.1109629 e doi.org/10.1007%2F978-3-540-73814-5_9 e doi.org/10.1007%2F978-3-540-27836-8_33

— Erel Segal-Halevi,