Assegnazione equa ed efficiente dei "beni di famiglia"

8

Prendi in considerazione un'economia di scambio con due beni, ad esempio mobili per la casa (x) e apparecchiature elettriche (y). La cosa interessante di questi beni è che, quando una famiglia possiede un pacchetto, tutti i membri della famiglia godono dello stesso pacchetto (è come un "club buono" ma solo per la famiglia).

Ci sono due famiglie. In ogni famiglia, ci sono membri diversi con preferenze diverse rispetto ai pacchetti. Supponiamo che tutte le preferenze siano monotonicamente crescenti e strettamente convesse.

Un allocazione è una coppia di fasci, $(x_1,y_1)$ per la famiglia 1 e $(x_2,y_2)$ per famiglia 2.

Un'allocazione si chiama senza invidia se:

Tutti i membri della famiglia 1 credono che $(x_1,y_1)$ sia almeno buono come $(x_2,y_2)$ ;
Tutti i membri della famiglia 2 credono che $(x_2,y_2)$ sia almeno buono come $(x_1,y_1)$ .

Un'allocazione è chiamata Pareto-efficiente se non vi è altra assegnazione di fasci alle famiglie in modo tale che tutti i membri di tutte le famiglie preferiscano debolmente e almeno un membro di una famiglia preferisca rigorosamente.

In quali condizioni esiste un'allocazione senza invidia pareto-efficiente?

Se ogni famiglia ha un singolo membro, esiste un'allocazione senza invidia pareto-efficiente; questo è un famoso teorema di Varian . Questo teorema è stato generalizzato dagli individui alle famiglie?

— Erel Segal-Halevi
fonte

Definizione molto forte di invidia. Si potrebbe supporre che in qualche modo si aggreghino prima le preferenze e poi si affermi che non c'è invidia secondo le preferenze aggregate.

— Giskard,

@denesp, in effetti, ho pensato di aggregare le preferenze, ad esempio utilizzando una funzione di assistenza sociale. Ma ogni selezione di tale funzione sarebbe arbitraria e non sufficientemente motivata.

— Erel Segal-Halevi,

@ ErelSegal-Halevi vuoi che a supporre anche che l'utilità di ogni membro di ciascuna famiglia è debolmente in aumento nella quantità di

e

la loro famiglia riceve? In tal caso, ho una condizione molto insoddisfacente per te in base alla quale esiste un'allocazione Pareto-efficiente, senza invidia: supponi che, per ogni famiglia, ogni membro di quella famiglia abbia le stesse preferenze ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shane debole monotonicità sembra un presupposto ragionevole. Se, in ogni famiglia, tutti i membri hanno le stesse preferenze, allora ogni famiglia è in realtà come un singolo agente, quindi siamo tornati all'impostazione standard ...

— Erel Segal-Halevi,

Che dire del caso in cui

e

? Supponendo una debole monotonicità, allora questo deve essere Pareto e privo di invidia. Da lì, potremmo forse apportare alcune piccole modifiche epsilon?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Cavalleria Kitsune

2

In questo momento non sono sicuro dell'equivalenza della rietichettatura, e quindi dell'utilità di questa risposta - vedi i commenti qui sotto.

Questo è l'inizio di una risposta e un tentativo di dimostrare quanto forti dovrebbero essere i presupposti necessari per garantire l'esistenza.

Trasformiamo il problema in uno equivalente ma un po 'più facile da lavorare. Invece di indicizzare le famiglie, invece indicizziamo gli agenti (membri delle famiglie). La chiave di questa rietichettatura è capire che le famiglie possono essere scritte come vincoli: se gli agenti e appartengono alla stessa famiglia, allora e . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Ora siamo tornati nell'ambiente standard con singoli agenti (non famiglie) ma con questi vincoli familiari. Ricorda la dimostrazione del teorema di Varian, che colleghi alla domanda. Usa l'esistenza di un equilibrio competitivo a parità di reddito. In questo contesto, avremmo bisogno dell'esistenza di un equilibrio competitivo da redditi uguali in cui anche i vincoli familiari fossero soddisfatti. Questo sarà molto difficile da fare. Ad esempio, considera e sono in una famiglia e $i$ $j$ dove è minuscolo. Queste preferenze sono monotone e convesse. Fondamentalmente, un membro della famiglia si preoccupa per e l'altro si preoccupa per . Se ciascuno dei due agenti è l'acquisto di e per massimizzare la propria utilità, non ci si aspetterebbe o nell'equilibrio competitivo (vediaddendumalla fine).

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Questo è il motivo per cui hai certamente bisogno di alcune ipotesi sulle somiglianze delle preferenze all'interno delle famiglie (almeno per usare una versione della dimostrazione di Varian). La mia sensazione è che se mi dai qualche differenza arbitrariamente piccola nelle preferenze tra i membri della famiglia, posso costruire un esempio attorno a esso dove non esiste un CEEI in cui scelgono la stessa allocazione. E poi, per lo meno, non puoi usare la prova di Varian.

Due domande:

Sei d'accordo sul fatto che la mia riformulazione del problema è formalmente equivalente a te?
Riesci a pensare a un'ipotesi più debole dell'ipotesi di omogeneità di preferenza all'interno della famiglia che posso provare a invalidare con un controesempio?

Addendum: Ricorda che in un equilibrio competitivo, il tasso marginale di sostituzione (MRS) di ciascun agente equivale al rapporto prezzo. Qui, i miei agenti hanno MRS costanti e diversi, quindi non può esistere un equilibrio competitivo con un rapporto di prezzo uguale a entrambi i loro MRS. Se ogni agente ha un MRS che varia, forse potrebbe capitare di essere uguale al rapporto prezzo-equilibrio. Quindi forse potresti cavartela con qualche nozione di omogeneità locale delle preferenze familiari. Ma devi averli localmente omogenei all'equilibrio competitivo, che è esattamente ciò che stai cercando di dimostrare esiste, quindi sarebbe un po 'circolare.

Nota importante: come accennato in precedenza, presumo che l'unico modo per dimostrare l'esistenza sia il modo in cui Varian l'ha fatto, tramite CEEI. Potrebbero esserci altre tecniche di prova che aggirano questi problemi, ma sospetto di no.

Oltre CEEI: Come sottolinea l'OP nei commenti, dimostrare l'esistenza di PEEF attraverso CEEI come Varian è piuttosto restrittivo. Non ho molto da dire sulla prova dell'esistenza diretta di PEEF, ma è evidente quanto segue: per qualsiasi allocazione che soddisfi la tua condizione di efficienza di Pareto (ignora l'invidia per il momento), per qualsiasi tale che , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Se ciò non fosse vero, ci sarebbe un miglioramento di Pareto. L'equilibrio competitivo essenzialmente identifica gli MRS attraverso il rapporto dei prezzi, ma è ancora necessario equiparare questi MRS solo per trovare un'allocazione efficiente di Pareto. Penso che i vincoli familiari lo renderanno molto difficile - non è difficile trovare un ambiente e vincoli familiari tali che non esiste un equilibrio efficiente di Pareto che soddisfi tali vincoli. In ogni caso, questo potrebbe essere un altro passo parziale verso una risposta: dimenticare l'invidia. Per prima cosa cerca di elaborare un'ipotesi sulle preferenze (e forse sui vincoli familiari) che garantisca l'esistenza di un'allocazione efficiente di Pareto che soddisfi i vincoli familiari. Quindi preoccupati dell'invidia.

— Shane
fonte

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Ho trovato nel documento originale di Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 prove dell'esistenza di allocazioni PEEF, che non si basano su CEEI e quindi sono valide anche in situazioni in cui non esiste un CEEI (le preferenze non esistono strettamente convesso). Finora non sono riuscito a capire queste prove, ma potrebbero essere rilevanti.

— Erel Segal-Halevi,

@ErelSegal-Halevi Nel tuo esempio, qualsiasi allocazione in cui entrambi gli agenti ottengono quantità strettamente positive di entrambi i beni è Pareto inefficiente, no? Faccio fatica a capire le tue gamme. Più in generale, però, sono d'accordo con te. Ho aggiunto una sezione aggiuntiva sulla dimostrazione diretta dei PEEF (senza CEEI). Non penso che lo troverai particolarmente soddisfacente, ma è tutto ciò che per me è ovvio in questo momento.

— Shane,

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi il

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , non 2. Ora sto mettendo in discussione l'equivalenza della rietichettatura. Le famiglie non sono solo un vincolo (in quanto le persone devono condividere gli stessi beni), sono anche un vantaggio, in quanto i beni sono pubblici / condivisi all'interno della famiglia.

— Shane,

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
fonte

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Tutti i membri della famiglia U hanno un MRS superiore a tutti i membri della famiglia V.

— Entro il

Penso che per 2 famiglie e preferenze lineari, questo requisito possa essere rimosso. Devo ancora lavorare sui dettagli.

— Erel Segal-Halevi,

Penso che sarà difficile rimuovere questo requisito perché vogliamo che l'allocazione sia libera da invidia. Le condizioni potrebbero non apparire pulite anche se in qualche modo è rilassata. Ma questo risultato vale per una classe più ampia di funzioni di utilità. Sarà una buona idea estendere il risultato per includere preferenze di altro tipo. Ad esempio: una versione di esso può anche essere dimostrata per le preferenze di Cobb Douglas.

— Entro il

1

Supponiamo che le preferenze di tutti gli agenti in tutte le famiglie siano monotone e convesse (i presupposti standard della teoria del consumatore).

Quindi, esiste sempre un'allocazione senza invidia pareto-efficiente quando ci sono due famiglie. Tuttavia, potrebbe non esistere quando ci sono tre o più famiglie.

Prove ed esempi sono disponibili in questo documento di lavoro .

— Erel Segal-Halevi
fonte

-2

L'affermazione del problema sembra implicare che X e Y non possano essere sostituti (un dispositivo elettrico non può essere utilizzato come mobile per la casa).

Un'allocazione senza invidia pareto-efficiente esiste quando:

Per almeno un agente, almeno alcuni beni hanno utilità negativa o sono complementi e gli agenti possono scegliere di non consumare.

Esempio:

Gli agenti A e B appartengono alla famiglia F1.
La funzione di utilità dell'agente A è:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

La funzione di utilità dell'agente B è:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Gli agenti C e D appartengono alla famiglia 2.
L'agente C ha una funzione di utilità:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

L'agente D ha una funzione di utilità:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Soluzione:

F1 preferisce (X1, Y1) e l'agente A sceglierà di non consumare alcun bene.

F2 preferisce (X2, Y2) e l'agente C scelto per non consumare alcun bene.

Questi sono argomenti davvero semantici e non c'è equilibrio significativo senza assumere preferenze condivise.

— DJ Sims
fonte

Potresti forse rendere le tue dichiarazioni più precise? Ad esempio, quali sono i "complementi negativi"? E per favore offri almeno un argomento euristico a supporto delle affermazioni, se non una prova completa, in modo che possiamo capire il tuo ragionamento.

— Shane,

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Modificata la risposta. Sei corretto sul secondo punto. Se gli agenti sono tenuti a consumare, l'argomento non si applica.

— DJ Sims