Come visualizzi la frequenza negativa nel dominio del tempo?

Nel campo dell'elaborazione del segnale digitale ho visto persone che usano le parole

Segnali complessi e frequenze negative. Per es. nello spettro FFT.

Ha davvero un significato significativo nel dominio del tempo o è solo una parte della simmetria matematica.

Come visualizzi la frequenza negativa nel dominio del tempo?

Le FFT funzionano trattando i segnali come bidimensionali, con parti reali e immaginarie. Ricorda il cerchio unitario ? Le frequenze positive si verificano quando il fasore ruota in senso antiorario e le frequenze negative quando il fasore gira in senso orario.

Se butti via la parte immaginaria del segnale, la distinzione tra frequenze positive e negative andrà persa.

Ad esempio ( fonte ):

Se dovessi tracciare la parte immaginaria del segnale, otterresti un'altra sinusoide, sfasata rispetto alla parte reale. Notate come se il phasor ruotasse dall'altra parte, il segnale superiore sarebbe esattamente lo stesso ma la relazione di fase della parte immaginaria con la parte reale sarebbe diversa. Eliminando la parte immaginaria del segnale non si ha modo di sapere se una frequenza è positiva o negativa.

Nel dominio del tempo, una frequenza negativa è rappresentata da un'inversione di fase.

Per un'onda di coseno, non fa alcuna differenza, poiché è simmetrico comunque intorno allo zero. Inizia da 1 e scende a zero in entrambe le direzioni.

$$cos(t) = cos(-t)$$

Tuttavia, un'onda sinusoidale inizia con un valore pari a zero a tempo zero e aumenta in direzione positiva, ma cade in direzione negativa.

$$sin(t) = -sin(-t)$$

Ecco un approccio leggermente diverso. Vediamo quale funzione periodica ha trasformata di Fourier esattamente con la frequenza .$-1$

È la funzione per t ∈ [ 0 , 1 ] .$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$$t \in [0,1]$

Notare che questa funzione ha la stessa parte reale della funzione . Quest'ultima funzione ha un solo componente di frequenza: la frequenza 1 .$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

Il motivo per cui queste frequenze negative si manifestano quando si considerano solo segnali reali è perché forniscono un modo più semplice per descrivere autovalori rigorosamente complessi dell'azione del cerchio unitario sul suo spazio funzionale.

Modifica: per espandere l'ultimo commento, al fine di fare analisi di frequenza ciò che desideravamo veramente fare è occupare lo spazio delle funzioni con valori reali su , F ( [ 0 , 1 ] , R ) ed essere in grado di esprimere qualsiasi funzione f ∈ F ( [ 0 , 1 ] , R ) in termini di alcune basi naturali di F ( [ 0 , 1 ] , R$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$. Siamo d'accordo che in realtà non più di tanto se iniziamo il nostro periodo è a 1 o 1 / 2 a 3 / 2 quindi abbiamo davvero sarebbe desiderare che questo si comportano bene basi rispetto alla operatore di spostamento f ( x ) ↦ f ( a + x $0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$ .

Il problema è, con gli aggettivi appropriati, non una somma diretta di funzioni che si comportano bene rispetto allo spostamento. È una somma diretta (completata) di spazi vettoriali bidimensionali che si comportano bene rispetto all'operatore del turno. Questo perché la matrice che rappresenta la mappa f ( x ) ↦ f ( a + x ) ha autovalori complessi. Queste matrici saranno diagonali (in modo appropriato) se complessiamo la situazione. Ecco perché studiamo F ( [ 0 , 1 $F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$$F([0,1], \mathbb{C})$

$$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$

Consider the shift by $\frac{1}{4}$, $s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$.

$$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos(2 \pi t)$$
The real vector space span of $\cos(2 \pi t)$ and $\sin(2 \pi t)$ is a two dimensional vector space of functions which is preserved by $s$. We can see that $s^2 = -1$ so $s$ has eigenvalues $\pm \mathrm{i}$

This two dimensional space of functions cannot be decomposed into eigenspaces for $s$ unless we complexify it. In this case the eigenvectors will be $e^{2\pi \mathrm{i} t}$ and $e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$.

To recap, we started with two positive frequencies but in order to diagonalize the action of $s$ we had to add in the negative frequency function $e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$.

A great way of visualizing negative frequencies is to modulate the original signal. Say you have a sine wave with frequency $\omega_0$ (in radians):

$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$

The spectrum of this signal has a peak at $\omega=\omega_0$ and one at the negative frequency $\omega=-\omega_0$.

By modulating the signal $x(t)$ you basically shift the original spectrum by the carrier frequency $\omega_c>\omega_0$:

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t-\sin(\omega_c-\omega_0)t]$$

Now the original negative peak at $-\omega_0$ has become visible after shifting it up by $\omega_c$. It is now at $\omega=\omega_c-\omega_0$. The peak at positive frequencies is not at $\omega=\omega_c+\omega_0$.

"How do you visualize negative Frequency in Time domain ?"

I interprete this question as follows: Do negative frequencies exist in reality?

If this interpretation is correct (and meets the core of the question) my answer is simply: NO - they do not exist.

More than that (to be a bit "sophistic") - "frequencies" cannot exist because they are not a physical quantity. Instead, we have sinusoidal waves with some specific properties - and on of these properties is the number of periods per second. And that`s what we call "frequency". And this number cannot be negative.

Hence, the introduction of signals having "negative frequencies" may have a lot of advantages but it is a pure abstract and theoretical "tool" allowing simplifications of mathematical expressions/descriptions.