Fourier vs. Laplace

Supponiamo di avere una rete RLC in una scatola nera e di battere forte in laboratorio per ottenere la risposta all'impulso. Ora ho due opzioni, posso prendere la trasformata di Fourier o posso prendere la trasformata di Laplace per ottenere la risposta in frequenza. Come faccio a sapere quale scegliere e qual è la differenza fisica tra ciascuno?

Mi è stato detto che la trasformata di Laplace fornisce anche la risposta transitoria o il decadimento, mentre la trasformata di Fourier no. È vero? Se applico improvvisamente un segnale sinusoidale all'ingresso, allora ci dovrebbe essere una risposta transitoria per un breve periodo di tempo in cui l'uscita non è una sinusoide fino a quando il sistema non si stabilizza. Qualcuno può darmi un esempio pratico in termini di una rete RLC per mostrare come questo è vero?

Inoltre, spesso nella classe dei circuiti, prendiamo la trasformata di Laplace di un circuito in cui la parte reale di $s = \sigma + j\omega$ si presume che sia comunque zero, quindi quando lo usiamo $\frac{1}{Cs}$ per indicare la trasformata di Laplace del condensatore, si presume che ciò sia equivalente a $\frac{1}{j\omega C}$. Credo che la parte reale sia zero poiché la corrente attraverso il condensatore è sfasata di 90 gradi con la tensione attraverso - è corretto? Pensavo che la trasformata di Fourier fosse la stessa della trasformata di Laplace$\sigma = 0$. Tuttavia, ciò non sembra essere vero - considera$x(t) = u(t)$:

Possiamo vederlo anche se lo sostituisco $s = j \omega$senza una parte reale all'uscita della trasformata di Laplace, non sono ancora uguali. Come mai la trasformata di Fourier ha una componente di impulso extra, ma Laplace no? Quando posso sostituire$s = j\omega$ e ti aspetti che la trasformata di Fourier sia uguale alla trasformata di Laplace?

Modifica: l'ultima parte della mia domanda ha risposte qui e qui .

La trasformata di Fourier e di Laplace non sono uguali. Prima di tutto, nota che quando parliamo della trasformazione di Laplace, spesso intendiamo la trasformazione unilaterale di Laplace, dove gli integrali di trasformazione iniziano da$t=0$ (e non a $t=-\infty$), cioè con la trasformata di Laplace di solito analizziamo segnali e sistemi causali. Con la trasformata di Fourier non è sempre così.

Per comprendere le differenze tra i due, è importante esaminare la regione di convergenza (ROC) della trasformata di Laplace. Per i segnali causali, il ROC è sempre un piano a metà destra, cioè non ci sono poli (di una funzione razionale in$s$) a destra di un valore $\sigma_0$ (dove $\sigma$ indica la parte reale della variabile complessa $s$). Ora se$\sigma_0<0$, cioè se il $j\omega$ l'asse si trova all'interno del ROC, quindi è sufficiente ottenere la trasformata di Fourier impostando $s=j\omega$. Se$\sigma_0>0$quindi la trasformazione di Fourier non esiste (perché il sistema corrispondente è instabile). Il terzo caso ($\sigma_0=0$) è interessante perché qui esiste la trasformata di Fourier ma non può essere ottenuta dalla trasformata di Laplace impostando $s=j\omega$. Il tuo esempio è di questo tipo. La trasformata di Laplace della funzione passo ha un polo in$s=0$, che si trova sul $j\omega$asse. In tutti questi casi la trasformata di Fourier ha un valore aggiuntivo$\delta$ impulsi nelle posizioni dei poli sul $j\omega$ asse.

Si noti che non è vero che la trasformata di Fourier non può gestire i transitori. Questo è solo un malinteso che probabilmente deriva dal fatto che spesso usiamo la trasformata di Fourier per analizzare il comportamento in regime stazionario dei sistemi applicando segnali di ingresso sinusoidali definiti per$-\infty<t<\infty$. Vedi anche questa risposta a una domanda simile.

Ok, quindi sbatti una scatola nera fatta di componenti RLC e misuri la risposta - la risposta all'impulso. Ora vuoi conoscere la risposta in frequenza, ovvero la risposta a qualsiasi sinusoidale.

Prima di tutto, non puoi davvero eccitare il tuo sistema con un puro sinusoidale. È troppo tardi, avresti dovuto iniziare al big bang. Il meglio che puoi fare è usare un sinusoidale causale, che ha componenti di frequenza extra.

Ma diciamo che quello che vuoi sapere è la risposta del sistema a un input arbitrario nel dominio del tempo. Non hai davvero bisogno di Fourier o Laplace per saperlo. Una convoluzione farà.

Cosa hai in mano, davvero? Hai misurato la risposta all'impulso. In qualche modo lo hai tracciato, diciamo continuamente, al contrario di un ADC che campionava il segnale - che di solito è quello che succede, e invece ti chiederesti della Z-transform vs FFT. Supponiamo anche che il botto che hai dato sia stato un buon delta: forte ma corto.

Poiché il tuo sistema è RLC, è lineare, quindi i principi di sovrapposizione funzionano (altrimenti non ne parleremmo). Qualsiasi input può essere costruito aggiungendo un offset degli impulsi attenuato nel tempo (una specie di - è una cosa limite). Quindi la risposta totale sta semplicemente sommando tutte queste risposte individuali insieme. Questa aggiunta è esattamente ciò che fa l'input di convoluzione (t) * impulseResponse (t). È possibile considerare il sistema RLC come un "convoluter hardware". Questo è probabilmente il modo più accurato di prevedere una risposta a un input arbitrario.

Ora voglio chiarire qualcosa, che è il modo in cui Laplace si collega a Fourier. Il nostro dominio è funzioni causali, dal momento che non ha senso confrontare il Laplace unilaterale con Fourier altrimenti. Inoltre, tutti i segnali reali sono causali. Matematicamente, la trasformata di Laplace è solo la trasformata di Fourier della funzione pre-moltiplicata per un esponenziale in decomposizione. È così semplice Quindi se una trasformata di Fourier non esiste perché gli integrali sono infiniti, Laplace può ancora esistere se l'esponenziale in decomposizione è abbastanza forte, perché converrebbe l'intergral della funzione 'attenuata'. Da un punto di vista matematico, questo può essere estremamente utile in alcuni casi.

Ma ciò che potresti davvero desiderare è creare un sistema di controllo per il tuo impianto. In tal caso, ciò che fai è ispezionare la risposta e quindi approssimarla con un modello del 1 ° o 2 ° ordine più il ritardo del gruppo. Quindi non sarà esatto, ma facendo questo abbandonerai tutti i piccoli dettagli della risposta effettiva e otterrai l'enorme vantaggio di essere in grado di collegare questo modello a equazioni e algoritmi di controllo e dozzine di conoscenze sulla teoria del controllo e progetta e simula il tuo sistema di controllo. In tal caso, utilizzeresti un modello di Laplace, poiché ottieni immediatamente poli e zero che possono essere utilizzati per l'analisi della stabilità.