Perché l'induttanza (L) è proporzionale con giri quadrati (N²)?

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\nabla \times B = μ J + \overset{0}{\overset{⏞}{μ ϵ \frac{\partial E}{\partial t}}} .

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$

Prendiamo l'integrazione della superficie di entrambi i lati, per la superficie ( ) all'interno del percorso medio ( ) del nucleo. $s$ $c$

\int_{s} (\nabla \times B) \cdot d s = μ \int_{s} J \cdot d s

$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$

$c$ $\Phi$

\oint_{c} B \cdot d ℓ = μ N I

$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$

$NI$ $N$

La densità del campo magnetico all'interno di questo tipo di nuclei è considerata uniforme. Quindi, possiamo scrivere

B ℓ_{c} \tilde{=} μ N I ⟹ B = \frac{μ N I}{ℓ_{c}};

$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$

$\ell_c$

$A_c$

Φ = B A_{c} = \frac{μ N I A_{c}}{ℓ_{c}}

$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$

Per definizione, l'induttanza è la quantità di flusso magnetico generato per corrente applicata, cioè

L \overset{△}{=} \frac{Φ}{I} .

$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$

Quindi, troviamo l'induttanza del sistema come

L = \frac{Φ}{I} = \frac{\frac{μ N I A_{c}}{ℓ_{c}}}{I} = \frac{μ N A_{c}}{ℓ_{c}} .

$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$

Ma tutte le altre fonti ( esempio ) danno l'induttanza di un induttore come questo

L = \frac{μ N^{2} A_{c}}{ℓ_{c}} .

$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$

Qual è l'errore che ho fatto nella mia derivazione? Si prega di spiegare in dettaglio.

— hkBattousai
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$N^2$

Un altro modo per esprimere questa dipendenza è dire: a causa dell'accoppiamento magnetico tra le spire.

— motoprogger
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Intendi dire che N giri contribuisce a generare il flusso, e ancora una volta questi N giri contribuiscono in modo diverso a creare l'induzione, in modo che l'induttanza diventi proporzionale con N per due volte; quello è N²?

— hkBattousai,

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Sì, contribuiscono per la prima volta a generare il flusso centrale e la seconda volta a "raccoglierlo".

— motoprogger,

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Pensa a un induttore a giro singolo (a sinistra in basso), quindi immagina che il giro singolo a giro si divida in due fili paralleli che sono avvolti molto strettamente in modo da occupare praticamente lo stesso spazio (proprio sotto).

I due fili paralleli, per una determinata tensione applicata, assorbiranno ciascuno la metà della corrente dell'induttore a giro singolo e, insieme, assumeranno la stessa corrente del giro singolo: -

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Per questo motivo, ogni singolo cavo parallelo DEVE avere il doppio dell'impedenza del singolo filo e, insieme, quando sono collegati in parallelo, presentano la stessa impedenza del singolo filo. OK finora?

Ora, riorganizza quei due fili (nell'occhio della tua mente) in modo che siano in serie tra loro. L'impedenza cambia a quattro volte l'impedenza: -

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Ciò significa che l'induttanza è quadruplicata per un raddoppio dei turni ed è banale estendere questo esempio a n turni.

— Andy aka
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Qual è l'errore che ho fatto nella mia derivazione? Si prega di spiegare in dettaglio.

L'induttanza è

L = \frac{λ}{I} = \frac{N Φ}{I}

$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$

$\lambda$

— Alfred Centauri
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