Polacchi e zeri in inglese

Qualcuno può spiegare, o fornire un buon riferimento a una spiegazione di poli e zeri, per esempio, un compensatore di alimentazione o qualsiasi sistema di controllo per quella materia. Non sto davvero cercando una spiegazione matematica, poiché sembra piuttosto semplice, ma cosa significano in senso pratico.

Sembra comune, ad esempio, che documenti o note app menzionino qualcosa come "una configurazione dell'amplificatore di errore di tipo III ha tre poli (uno all'origine) e due zeri" o "l'aggiunta del condensatore C1 introduce un ulteriore zero nel sistema" come se dovessi prendere qualcosa da quello senza ulteriori spiegazioni. In realtà, sono come "ughhh, e allora?"

Quindi cosa significherebbe qualcosa del genere dal punto di vista pratico. I poli sono punti di instabilità? Il numero di zeri e poli indica qualcosa sulla stabilità o sulla sua mancanza? C'è un riferimento su questo da qualche parte scritto in un modo comprensibile che mi consentirebbe (più di un uso pratico, non di matematica hardcore per motivi di tipo matematico) di unirmi alla folla quando si trattava di app-note che fanno riferimento a Zeri e Polacchi ?

1. Un sistema di feedback (come qualsiasi altro circuito CA) può essere descritto usando una complessa funzione . Si chiama la funzione di trasferimento del sistema e descrive tutto il suo comportamento lineare.$L(s)$

2. $L(s)$ possono essere tracciati come due grafici: uno per magnitudo e uno per fase sia rispetto alla frequenza (i grafici del corpo). Questi grafici ci consentono di determinare facilmente la stabilità del sistema. Un sistema instabile ottiene uno sfasamento di 180 ° (quindi un feedback negativo inizia improvvisamente a essere positivo) pur avendo un certo guadagno.

3. Ogni funzione complessa che descrive un circuito elettrico è completamente definita dai suoi poli e zeri. Se si scrive la funzione come rapporto di due polinomi di zeri sono punti in cui il numeratore è uguale a e i poli sono zeri del denominatore.$j\omega$$0$

4. È abbastanza facile disegnare diagrammi Bode da poli e zeri, quindi sono il metodo preferito per specificare i sistemi di controllo. Inoltre, se puoi ignorare il caricamento dell'uscita (perché hai separato i vari stadi con amplificatori operazionali), puoi semplicemente moltiplicare le funzioni di trasferimento senza fare tutti i normali calcoli del circuito. La moltiplicazione dei rapporti polinomiali significa che puoi semplicemente concatenare gli elenchi di poli e zeri.

Quindi torna alla tua domanda:

1. Controlla la pagina di Wikipedia per un'introduzione e questo tutorial per un riferimento su come disegnare diagrammi Bode da un elenco di poli e zeri.

2. Leggi un po 'di cose pratiche nella trasformazione di Laplace . Versione breve: calcoli semplicemente il circuito come con numeri complessi ma sostituendo dove scriverai . Quindi trovi e hai la tua funzione di trasferimento.j ω V o u $s$$j\omega$$V_{out} \over V_{in}$

3. Da una funzione di trasferimento ad anello aperto (immagina di tagliare l'anello con le forbici e di inserire un qualche tipo di misuratore di risposta in frequenza), disegna grafici di Bode e verifica la stabilità. La nota sull'applicazione Feedback, Amplificatori operazionali e Compensazione è breve e densa ma ha tutta la teoria di cui hai bisogno per questa parte. Prova almeno a sfogliarlo.

In breve, i poli e gli zeri sono un modo per analizzare la stabilità di un sistema di feedback.

Cercherò di non diventare troppo matematico ma non sono sicuro di come spiegare senza almeno un po 'di matematica.

Ecco la struttura di base di un sistema di feedback:

In questa forma non c'è guadagno o compensazione nel percorso di feedback, è collocato interamente nel percorso di andata, tuttavia, la porzione di feedback di sistemi più generali può essere trasformata in questo modo e analizzata allo stesso modo.

$L(s)$$L(s) = 1$$s$$L(s) = 0$

$L(0)$

Pali e zeri

$L(s)$$A e^{i \theta}$$\theta$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s) = \frac{10^{6}}{s}$

$L(s)$$L(s)$

Spero che sia di aiuto. In generale, mi aspetto che i fogli dati e le note dell'app suggeriscano valori per i componenti di compensazione in modo che l'utente non debba analizzare la stabilità a meno che non vi siano requisiti speciali. Se hai in mente una parte specifica che stai riscontrando problemi nell'uso e pubblichi un link al foglio dati, potrei essere in grado di offrire qualcosa.

Un polo è una frequenza in cui un filtro risuona e avrebbe, almeno matematicamente, un guadagno infinito. Uno zero è dove blocca una frequenza - guadagno zero.

Un semplice condensatore di blocco CC, come ad esempio per accoppiare amplificatori audio, ha uno zero all'origine: blocca i segnali 0Hz, cioè blocca la tensione costante.

In generale, abbiamo a che fare con frequenze complesse. Consideriamo non solo segnali che sono somme di onde seno / coseno, come ha fatto Fourier; teorizziamo su seno / coseno in crescita esponenziale o in decomposizione. I poli e gli zeri che rappresentano tali segnali possono trovarsi ovunque nel piano complesso.

Se un polo è vicino all'asse reale, che rappresenta normali onde sinusoidali costanti, ciò rappresenta un filtro passa-banda fortemente sintonizzato, come un circuito LC di alta qualità. Se è lontano, è un filtro passa-banda morbido e molle con un basso valore 'Q'. Lo stesso tipo di ragionamento intuitivo si applica agli zeri: si verificano intagli più nitidi nello spettro di risposta in cui gli zeri sono vicini all'asse reale.

La funzione di trasferimento L (s) che descrive la risposta di un filtro dovrebbe avere un numero uguale di poli e zeri. Questo è un dato di base nell'analisi complessa, valido perché abbiamo a che fare con componenti lumped lineari descritti da algebra semplice, derivati ​​e integrali e possiamo descrivere seni / coseni come funzioni esponenziali complesse. Questo tipo di matematica è analitico ovunque. È comune non menzionare poli o zeri all'infinito, tuttavia.

Entrambe le entità, se non sull'asse reale, appariranno in coppia - a una frequenza complessa e al suo coniugato complesso. Ciò si riferisce al fatto che un segnale reale risulta in un segnale reale fuori. Non misuriamo tensioni numeriche complesse. (Le cose si fanno più interessanti nel mondo delle microonde.)

Se L (s) = 1 / s, questo è un polo all'origine e uno zero all'infinito. Questa è la funzione per un integratore. Applicare una tensione costante e il guadagno è infinito: l'uscita sale senza limiti (fino a quando non raggiunge la tensione di alimentazione o il circuito fuma). All'estremità opposta, inserire una frequenza molto alta in un integratore non avrà alcun effetto; viene mediata a zero nel tempo.

I poli nel "mezzo piano destro" rappresentano una risonanza a una certa frequenza che fa crescere un segnale in modo esponenziale. Quindi vuoi i poli nel mezzo piano sinistro, il che significa che per qualsiasi segnale arbitrario inserito nel filtro, l'uscita alla fine decadrà a zero. Questo è per un filtro normale. Naturalmente, gli oscillatori dovrebbero oscillare. Mantengono un segnale costante a causa delle non linearità: i transistor non possono emettere più di Vcc o meno di 0 volt per l'uscita.

Quando guardi un diagramma di risposta in frequenza, potresti indovinare che ogni bump corrisponde a un polo e ogni tuffo a zero, ma non è strettamente vero. e poli e zeri lontani dall'asse reale hanno effetti che non sono evidenti in quel modo. Sarebbe bello se qualcuno inventasse un'applet Web Flash o Java che ti consente di spostare diversi poli e zeri ovunque e tracciare la risposta.

Tutto ciò è semplificato, ma dovrebbe dare un'idea intuitiva del significato di poli e zeri.

Permettetemi di provare a ridurlo a termini ancora più semplici delle spiegazioni dettagliate che sono state pubblicate in precedenza.

La prima cosa da capire è che poli e zeri, per i tipi di sistemi di controllo, implicano che siamo nel dominio Laplace. La trasformata di Laplace è stata creata per consentire alle equazioni differenziali e integrali di essere trattate in modo algebrico. La 's' in un'equazione di Laplace significa "la derivata di" e "1 / s" significa "prendere l'integrale di". Ma se hai un blocco che ha una funzione di trasferimento di (1 + s) seguito da un altro con una funzione di trasferimento (TF) di (3 - 5 / s) puoi ottenere la funzione di trasferimento totale semplicemente moltiplicando (1 + s ) di (3 - 5 / s) e get (3s - 5 / s - 2), che è considerevolmente più facile da fare rispetto a quando si è rimasti nel dominio normale e si è dovuto lavorare con integrali e derivati.

Quindi, alla domanda -> un polo significa che la funzione di trasferimento globale ha una 's' per cui il suo valore è infinito. (Come puoi immaginare, questa è spesso una brutta cosa.) Uno zero significa esattamente il contrario: un valore di 's' risulta nel TF complessivo = 0. Ecco un esempio:

Un TF è (s + 3) / (s + 8). Questo TF ha uno zero in s = -3 e un polo in s = -8.

I poli sono un male necessario: per fare qualcosa di utile, come, per esempio, fare in modo che l'uscita di un sistema reale tenga traccia di un input, hai assolutamente bisogno dei poli. Spesso è necessario progettare il sistema con più di uno di essi. Ma se non osservi il tuo disegno, uno o più di quei poli potrebbero spostarsi nella "s è uguale a un numero con una componente reale positiva" (cioè la metà destra del piano). Questo significa un sistema instabile. A meno che tu non stia costruendo intenzionalmente un oscillatore, questo di solito è molto male.

La maggior parte dei sistemi a circuito aperto ha poli e zeri che sono facilmente caratterizzabili e si comportano molto bene. Ma quando intenzionalmente (o non intenzionalmente, che è estremamente facile da fare) prendi una parte dell'output e lo riporti a qualche parte precedente del sistema, hai creato un sistema di feedback a circuito chiuso. I poli e gli zeri ad anello chiuso SONO correlati ai poli e agli zeri ad anello aperto, ma non in modo intuitivo per l'osservatore casuale. Basti dire che è qui che i designer spesso si mettono nei guai. Quei poli ad anello chiuso devono rimanere sul lato sinistro dell'aereo del laplace. Le due tecniche più comunemente usate per realizzarlo sono controllare il guadagno complessivo attraverso il percorso ad anello chiuso e / o aggiungere zeri (gli zeri ad anello aperto amano i poli ad anello aperto e spesso fanno sì che i poli ad anello chiuso si comportino in modo molto diverso).

Un breve commento su una risposta molto apprezzata sopra: "In breve, i poli e gli zeri sono un modo per analizzare la stabilità di un sistema di feedback".

Mentre l'affermazione è vera, il sistema non deve avere feedback per questi concetti per essere utili. I poli e gli zeri sono utili per comprendere la maggior parte dei sistemi reali con una risposta in frequenza, diversa da una risposta piatta, come filtri, amplificatori e qualsiasi tipo di sistema dinamico.

Per aggiungere un po 'di matematica (dobbiamo, è un concetto matematico), puoi (per molti sistemi) esprimere una risposta in frequenza di un sistema come:

H (f) = B (f) / A (f)

e B (f) e A (f) possono essere espressi come polinomi complessi in frequenza.

Un semplice esempio: considerare un filtro passa basso RC (tensione in -> serie R -> shunt C -> tensione in uscita).

Il guadagno (funzione di trasferimento) può essere espresso nel dominio della frequenza come:

Vout (f) / Vin (f) = H (f) = 1 / (1 + j * 2 * pi * f * R * C),

dove j (o i) è la radice quadrata di -1.

C'è un polo a frequenza fp = 1 / (2 pi RC). Se tracciate la grandezza di questa equazione complessa, scoprirete che il guadagno in DC è 1 (0 dB), che il guadagno scende a -3 dB in f = fp = 1 / (2 * pi * RC) e che il guadagno continua a scendere a -20 dB per decennio (aumento di 10 volte) in frequenza dopo il polo.

Quindi puoi pensare al polo come a un punto di rottura nella risposta del guadagno rispetto alla frequenza. Questo semplice esempio è un filtro passa-basso con una "frequenza d'angolo" in w = 1 / (RC) o f = 1 / (2 pi RC).

In termini matematici, un polo è una radice del denominatore. Allo stesso modo uno zero è una radice del numeratore e il guadagno aumenta alle frequenze sopra uno zero. Anche la fase è influenzata ... ma forse è più che sufficiente per un thread non matematico.

L '"ordine" è il numero di poli e il "tipo" è il numero di poli in f = 0 (integratori puri).