Domanda di teoria sull'unità immaginaria "j" (analisi del circuito CA)

Ho appena iniziato a conoscere l'analisi della rete CA e ho alcune domande su "j" (o "i" sulla mia calcolatrice), l'unità immaginaria. Il mio libro non tratta molto di questo, e passa direttamente a formule e sostituzioni (approccio più pratico, non teorico). Quindi, cosa rappresenta esattamente J?

Vedo che se disegno un piano complesso (l'asse y è immaginario, l'asse x è reale) e traccia un cerchio unitario su di esso, un angolo di 90 ° è , che è "j". Vedo che posso usare questa sostituzione in forma di fasore quando, diciamo, risolvendo la tensione attraverso un condensatore quando la corrente attraverso di esso è nota:$\sqrt{-1}$

Qualcuno può aiutarmi a capire questo?

Ad essere onesti, questa domanda è piuttosto vaga perché non sono nemmeno sicuro di come chiedere cosa sia J; è così estraneo a me. Vorrei una spiegazione di buon senso (quadro generale) del suo significato e scopo nell'analisi del circuito CA. Non sto necessariamente cercando una spiegazione matematica rigorosa (anche se ogni spiegazione matematica necessaria è benvenuta).

Se metti un segno meno davanti al numero "5" diventa "-5".

Prova a guardare in modo diverso. Prova a pensare che ruota il numero "5" (legato all'origine da un pezzo di filo di lunghezza 5) di 180 gradi per diventare "-5"

OK finora? I segni negativi sono gli stessi della rotazione di 180 gradi ...

Perché non estenderlo ulteriormente per produrre qualcosa che puoi "attaccare" davanti a un numero positivo che lo ruota di 90 gradi - in EE questo di solito è chiamato "j" e agisce per ruotare un valore (circa l'origine) di 90 gradi in senso antiorario, cioè se lo facessi due volte (j * j) otterrai 180 gradi ("-").

$\sqrt{-1}$

Proprio come un segno meno può ruotare qualsiasi valore positivo di 180 gradi, può ruotare qualsiasi vettore o fasore di 180 gradi. Lo stesso vale per l'operatore j: ruota qualsiasi vettore o fasore di 90 gradi in senso antiorario.

EDIT - dimentica la parte della domanda: -

sostituendo j nell'impedenza di un condensatore. Ricorda che la formula di base per un condensatore è Q = CV e quindi differenziando le variabili che otteniamo: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

Questo ci dice che per un'onda sinusoidale applicata una tensione attraverso un condensatore, la corrente sarà anche un'onda sinusoidale ma differenziata in un coseno come questo: -

Se provassi a calcolare l'impedenza (V / I) di un condensatore dalla relazione VI potresti avere dei problemi perché quando passo attraverso zero, V NON è zero, quindi ottieni infiniti. Se invece si applica una "j" per portare la corrente in fase con la tensione, la matematica funziona bene - la corrente e la tensione sono allineate e l'impedenza basata sui valori istantanei di V / I ha senso.

Sono consapevole che hai appena iniziato, quindi ho cercato di mantenerlo sia preciso che semplice (forse troppo semplice per alcuni?).

Se si guarda l'induttore, la "j" può essere applicata alla tensione per allinearla alla corrente, quindi "j" è nel numeratore per la reattanza induttiva e j è nel denominatore per la reattanza capacitiva. Ci sono sottigliezze qui intorno che speriamo abbiano senso man mano che impari di più - in realtà non è una coincidenza che "j" sembra "seguire" omega quando si tratta di impedenze - la mia spiegazione non copre questo e nemmeno la tua domanda!

$i$$-1$

$-1$$-i$

Se immagini una linea numerica con numeri reali posizionati orizzontalmente. Ora possiamo aggiungere una seconda riga numerica andando verticalmente contenente i numeri immaginari.

$4 + 3i$

Poiché un punto nello spazio bidimensionale può ora essere rappresentato come un singolo numero, i calcoli che coinvolgono vettori bidimensionali sono semplificati.

In elettronica, quando si considerano i sistemi forniti da un'onda sinusoidale a frequenza singola, inizialmente ci viene insegnato a disegnare diagrammi di fase. Quindi in seguito utilizzare numeri complessi per affrontare questi problemi.

$j$$i$$i$

Se desideri ulteriori approfondimenti, dai un'occhiata a questa domanda: quali sono i numeri immaginari? dal sito di scambio di stack di matematica .

Oppure dai un'occhiata qui: una guida visiva e intuitiva ai numeri immaginari .

In matematica qualcuno ha posto la domanda:

Qual è la soluzione per x ^ 2 = -1?

Hanno inventato un numero e hanno detto chiamiamolo "j".

Hanno risolto le conseguenze di ciò. Hanno scoperto che non ha portato a nessuna contraddizione nel regno della matematica esistente.

Nota che potresti pensare "ok, perché non introdurre una lettera ogni volta che hai qualcosa di irrisolvibile? Chiamerò solo 1/0 = f".

Provalo. Non sempre funziona perché le regole aritmetiche esistenti si rompono. Ad esempio, puoi mostrare che la definizione di 1/0 = f ti consente di mostrare che 1 = 2 o 1 = 3, ...

Quindi matematicamente funziona e non ha portato a contraddizioni. Improvvisamente abbiamo un modo per "racchiudere" due informazioni in un singolo numero a causa del modo in cui puoi rappresentare un numero complesso: su un piano reale / immaginario. Improvvisamente possiamo manipolare un NUMERO che contiene sia la grandezza che la fase nello stesso modo in cui manipoliamo i "numeri regolari". Questo è abbastanza utile

In elettronica è abbastanza conveniente essere in grado di racchiudere due informazioni in un unico numero. Quindi è abbastanza comodo usare numeri complessi. Questo è tutto. Ci capita di voler tenere traccia sia di una grandezza che di una fase: questo strumento matematico che è stato in molti modi appena inventato dal nulla ma che non infrange alcuna regola ci consente di fare proprio questo. Quindi usiamolo.

In matematica l'unità immaginaria è un numero molto utile usato per risolvere equazioni con un ordine superiore a 2. È stato introdotto solo ... alla prova e funziona abbastanza fino ad oggi. Ciò prevede l'ottenimento di almeno una radice in ogni polinomio.

Nell'elettronica l'unità immaginaria rappresenta l'energia immagazzinata nel nostro circuito. Quindi, nel condensatore, è l'energia immagazzinata in esso. Rappresenta anche lo sfasamento nel circuito, quando abbiamo a che fare con segnali sinusoidali.

Penso che dovresti precisare meglio la tua domanda, o semplicemente scrivere domande che ti infastidiscono in punti.

Ad esempio ... Se l'impedenza del circuito sarà rappresentata solo dall'unità immaginaria, non dal reale, la bolletta per l'energia sarà ... zero :)