Perché nei circuiti a corrente alternata, le onde sinusoidali sono rappresentate come un numero complesso in forma polare? Dal punto di vista fisico non capisco logicamente perché esista una parte immaginaria. È puramente da un punto di vista matematico per facilitare l'analisi dei circuiti?
Risposte:
Citazione: "È puramente dal punto di vista matematico per facilitare l'analisi dei circuiti?"
Non sono sicuro che questa parte della domanda abbia già ricevuto una risposta sufficiente. Pertanto: Sì - l'uso di una matematica complessa per descrivere i segnali sinusoidali non ha rilevanza fisica diretta. È solo per "semplificare le analisi".
Ad esempio: l'introduzione della famosa formula di Euler per i segnali del seno nella serie di Fourier porta a frequenze negative (simmetriche a frequenze positive). Quindi, sorge la domanda: nella realtà esistono frequenze negative? La risposta è no! È solo uno strumento matematico utile.
In realtà la motivazione è abbastanza semplice.
Quando hai un circuito lineare e lo stimoli con una sola frequenza, ovunque guarderai troverai sempre la stessa frequenza, cambiano solo l'ampiezza e la fase dell'onda che misuri.
Quello che fai allora è dire bene dimentichiamoci della frequenza, se tengo traccia dell'ampiezza e della fase delle tensioni e / o delle correnti attorno al circuito sarà più che sufficiente. Ma come puoi farlo? Non esiste uno strumento matematico che ti consente di tenere traccia dell'ampiezza e della fase? Sì, ce l'hai: vettori. Un vettore ha un'ampiezza, cioè la sua lunghezza, e una fase, ovvero l'angolo che forma con l'asse x, la direzione in senso antiorario è positiva.
Ora puoi obiettare che i vettori sono interessanti, ma non c'è niente di più interessante? E perché dobbiamo usare l'unità immaginaria?
La risposta alla seconda domanda è semplice: fare calcoli con i vettori è piuttosto un dolore, un dolore notazione:
E questa è solo aggiunta! Bene, questo è solo un problema di notazione, se scegliamo un'altra base di cose potrebbero essere migliori ... E questa base sembra esistere, ma richiede l'unità immaginaria j . Il pasticcio precedente diventa: 2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j Molto più facile, no?
Ok ma cosa ha in comune un vettore immaginario con una tensione? Beh, prova a immaginare il piano di Gauss, l'asse x è l'asse reale, l'asse y è quello immaginario.
Una tensione può essere rappresentata da un vettore centrato sull'origine, la cui lunghezza è uguale al valore della tensione, l' angolo iniziale è uguale alla fase. Ora il trucco magico: inizia a ruotare il vettore in modo che la sua velocità angolare corrisponda alla frequenza desiderata:
Bam. Questo è ciò che chiamiamo phasor , e quel ragazzino è l'arma più potente che hai contro i circuiti più difficili.
Quindi perché questi phaser sono speciali? Questo perché se prendi due tensioni reali:
E la cosa migliore è quella tutte le analisi dei circuiti reali che hai studiato fino ad ora continuano a funzionare con fasori e impedenze complesse. Cioè: la legge di Ohm vale con phaser e impedenze complesse , ed è grandioso poiché abbiamo una tonnellata di strumenti per risolvere circuiti che sono costruiti sulle leggi di Ohm e Kirchhoff e possiamo ancora usarli.
Con i fasori prendere la derivata / integrazione è anche super facile: come sapete, poiché stiamo parlando di seno e coseno tutti alla stessa frequenza è solo una questione di sfasamento, e questa sorpresa è molto chiara se si utilizza il rappresentazione esponenziale complessa.
TL; DR: I sinusoidi sono rappresentati come vettori rotanti sul piano polare, è quasi come fermare il tempo mentre ruotano e scattano una foto, cioè calcolano le relazioni di fase e ampiezza. Dai un'occhiata alla pagina phasor su Wikipedia. E controlla anche questa altra risposta più concisa.
La cosa principale da notare è che qualsiasi segnale periodico (con alcune restrizioni analitiche di base che si applicano nella pratica o si applicano a un livello arbitrario se non esattamente) può essere rappresentato come una somma di segnali seno e coseno con una frequenza che è un multiplo di il periodo del segnale.
Ora, una volta che lasci il regno della risposta diretta (come i resistori), l'energia può essere immagazzinata e recuperata. Le bobine immagazzinano energia magnetica (applica la tensione e la corrente inizia solo gradualmente ma continua a funzionare quando la tensione si interrompe), i condensatori immagazzinano energia elettrica (applica la corrente e la tensione inizia solo gradualmente ma continua a funzionare quando la corrente si interrompe), le masse convertono gradualmente la forza in impulso , le molle convertono gradualmente l'impulso in forza e così via.
Molte forme di potere sono fondamentalmente il quadrato di qualche misura di eccitazione. Ora risulta che la somma dei quadrati del seno e del coseno dello stesso argomento è 1. Una costante. Quindi stai benissimo descrivendo la conversione periodica di energia usando seni e coseni.
Si scopre che l'algebra usando seni e coseni è debole. Se aggiungi una sorta di termine immaginario che rappresenta la forma energetica del tuo segnale periodico a cui non sei interessato, e butti via qualsiasi parte immaginaria rimanga dopo che hai finito, le manipolazioni algebriche diventano molto più semplici a costo delle variabili reali che sono complesse .
Presumo che concordiamo sul fatto che si tratta di due informazioni per rappresentare un segnale CA in qualsiasi istante, ampiezza e fase, mentre la loro è solo ampiezza per DC.
Non è solo l'analisi in cui dobbiamo manipolare le informazioni, ma anche il design dei circuiti. I componenti hanno impedenza ed influenzano i segnali CA. Quindi, quando stiamo progettando, dobbiamo essere in grado di calcolare le impedenze al fine di progettare un circuito con proprietà AC specifiche.
I numeri complessi sono convenienti per rappresentare e calcolare sia i segnali CA che l'impedenza. Le due dimensioni, lunghezza e angolo, ci permettono di calcolare insieme ampiezza e fase e mantenerle coerenti.