Qual è la funzione di una serie di Fourier?

Che cos'è una serie di Fourier? A cosa serve?

La serie di Fourier:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Il termine è una costante, ovvero il livello DC. Potrebbe anche essere stato scritto senza dividere per due, ma questa è la convenzione. I termini della somma infinita sono la somma di un seno ponderato e un coseno ponderato con la stessa frequenza. Se li disegnassi come fasori nel complesso piano Argand vedresti che il risultato è di nuovo un seno, ma con un'ampiezza diversa e sfasata. Pertanto l'equazione può anche essere scritta come $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Quindi abbiamo la somma dei seni, tutte le frequenze multiple di una frequenza fondamentale , ognuna con la sua ampiezza e fase. $\omega_0$

Fourier ha dimostrato che puoi descrivere ogni funzione ripetitiva in questo modo. A volte la serie è infinita, a volte ha un numero finito di termini. A volte mancano i termini, il che significa che la loro ampiezza è zero.

Una delle serie di Fourier più conosciute è quella di un'onda quadra:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

o, espanso:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Quindi questa è una serie del genere con termini mancanti: un'onda quadra non ha nemmeno armoniche. L'immagine seguente mostra come appare nel dominio del tempo:

Il disegno in alto mostra la somma dei primi due termini, quindi viene aggiunto un terzo e in fondo un quarto. Ogni termine aggiunto avvicina la forma d'onda a un'onda quadra e avrai bisogno del limite della serie all'infinito per ottenere un'onda quadra perfetta.

A volte è difficile vedere il seno fondamentale in esso. Prendiamo ad esempio la somma di un seno 3Hz e un seno 4Hz. La forma d'onda risultante si ripeterà una volta al secondo, ovvero 1Hz. L'1Hz è fondamentale, anche se la sua ampiezza è zero. La serie può essere scritta come

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Tutti i termini seguenti hanno anche ampiezza zero.

Ogni segnale analogico realizzabile, qualsiasi cosa tu possa pensare o disegnare legittimamente su un grafico tensione vs. tempo può essere espressa in termini matematici come la somma di un numero infinito di onde sinusoidali di frequenze diverse - qualcosa di questa forma:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Diversi segnali sono costruiti modificando i valori di A, B, Cecc e f1, f2e altri.

Quando qualcuno fa riferimento a una serie di Fourier, si riferisce all'espressione della forma d'onda come una serie di operazioni di addizione come sopra.

Realisticamente ogni segnale analogico ha ALCUNI contenuti ad ogni frequenza - anche se l'ampiezza è .1e-67 è ancora lì. Idealmente, non è così - se costruisco un'onda quadra pura, so per certo che consiste SOLO di frequenze che sono uno strano multiplo del suo periodo. Quindi l'onda quadra 1Hz è la somma di un'onda sinusoidale da 1Hz più un'onda sinusoidale da 3Hz e così via lungo la linea. Per altre forme d'onda ben note come le onde triangolari e le rampe, le persone hanno fatto i calcoli su quali frequenze sono presenti e su quale contenuto.

La serie di Fourier è un mezzo per esprimere una forma d'onda periodica come la somma (forse infinita) di forme d'onda sinusoidali "armoniche".

Viene anche usato per esprimere un segnale su un intervallo di tempo limitato (compatto) come la somma infinita di forme d'onda sinusoidali.

In sostanza, stabilendo la relazione tra un segnale nel dominio del tempo (cioè un segnale espresso in funzione del tempo) e un segnale equivalente nel dominio della frequenza (cioè il segnale espresso in funzione della frequenza), il Fourier La serie consente l'analisi armonica di segnali e sistemi, che è la base della teoria della trasmissione radio, della teoria dei codici, della teoria dei controlli, della teoria dei quanti e di molte altre aree molto utili dell'ingegneria.

Mentre l'espressione dei segnali della serie Fourier all'inizio sembra più complicata, coinvolgendo espressioni complesse e "somme infinite", come strumento matematico, consentono agli ingegneri di risolvere problemi che non possono essere risolti utilizzando espressioni in forma chiusa.

In parole povere, a volte è utile esprimere una variazione nello spazio e / o nel tempo come una variazione di frequenza e fase. Soprattutto per variazioni periodiche. Ma anche quando la variazione non è periodica, purché la variazione sia limitata a un intervallo nello spazio e / o nel tempo, sarà anche limitata a un intervallo corrispondente (larghezza di banda) in frequenza.

L'applicazione della serie Fourier è stata fondamentale per comprendere la larghezza di banda del canale per i sistemi di comunicazione, sviluppare algoritmi di compressione delle immagini e migliorare l'affidabilità del sistema di distribuzione dell'energia elettrica.

Per aggiungere un po 'di praticità ai commenti di cui sopra, la serie nel dominio del tempo di Fourier può essere scomposta nei suoi componenti nel dominio della frequenza tramite algoritmi come FFT (Fast Fourier Transform) e DFT (Discrete Fourier Transform). Un importante risultato pratico della capacità di applicare gli algoritmi è che in R&S e test di laboratorio, spesso vogliamo misurare la purezza spettrale dei segnali rispetto a un rumore di fondo (ad esempio SNR o Spurious Free Dynamic Range) per vedere quanto sia puro o spesso, non distorto, il nostro contenuto del segnale è. Se abbiamo un output nel dominio del tempo (come un convertitore DA dovrebbe elaborare), non possiamo accertare questi valori semplicemente guardando la risposta nel dominio del tempo, quindi spesso sul lato della simulazione, useremo un modulo DFT per trasformare il segnale del dominio del tempo nel dominio spettrale (frequenza). In laboratorio, su un oscilloscopio, dobbiamo disporre di alcuni strumenti in grado di esaminare le proprietà spettrali (in genere utilizziamo analizzatori di spettro). Il cuore di questi strumenti dipende dall'analisi di Fourier e dai metodi di decomposizione spettrale. Quindi lì hai una ragione pratica per cui l'analisi di Fourier è importante in EE.