Frequenze negative: che cos'è?

So che quando la frequenza è 0, la tensione sarà pura CC. Ma in DSP e comunicazione digitale, ho visto menzionare frequenze negative che non capisco bene. Ad esempio, come $-f_{0}$ a $f_{0}$ gamma di frequenza. Come può la frequenza diventare negativa?

La derivazione di

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

è tutto molto bello e simile (grazie, Mark), ma non è molto intuitivo.
Un seno può essere presentato nel piano complesso come un vettore rotante:

Puoi vedere come il vettore è composto da una parte reale e una parte immaginaria. Ma quello che vedi quando guardi il segnale sul tuo ambito è un segnale reale, quindi come puoi liberarti della parte immaginaria, in modo tale che il vettore rimanga sull'asse x, aumentando e diminuendo? La soluzione è aggiungere un'immagine speculare del vettore rotante, ruotando in senso orario invece che in senso antiorario.

Le parti immaginarie hanno la stessa grandezza, ma segni opposti, quindi quando aggiungi entrambi i vettori le parti immaginarie si annullano a vicenda, lasciando un segnale puramente reale.
Se la rotazione in senso antiorario indica la frequenza positiva, la rotazione in senso orario deve indicare la frequenza negativa.

Non può in realtà.

Una risposta completa richiederebbe un intero libro di testo ma la risposta di base è:

$e^{j\omega t}$

Questo porta alla formula di Eulero:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

Il che porta al suo contrario:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

Ciò implica che sono presenti sia la frequenza positiva che quella negativa, che è dove compare nella discussione sull'elaborazione del segnale.

Il modo in cui lo vedo:

$e^{i\omega t}$

Può anche essere disegnato in modo meno intuitivo come questo (lato sinistro) e ha uno spettro unilaterale come questo (lato destro):

La frequenza negativa significa semplicemente che l'elica sta ruotando nella direzione opposta e lo spettro è invece una funzione delta sul lato negativo dell'asse della frequenza.

Se aggiungi una sinusoide complessa di frequenza positiva con una frequenza uguale ma negativa, le parti immaginarie controrotanti si annullano e produce un'onda sinusoidale reale.

In questo caso, non ha senso parlare di un'onda sinusoidale con frequenza negativa, poiché un'onda sinusoidale contiene sia frequenze positive che negative.

(Mi piacerebbe davvero fare delle illustrazioni migliori di questo, invece di copiare questi vecchi di scarsa qualità, ma ci ho provato e non è facile. Penso che il diagramma 3D degli spettri sopra sia in realtà sbagliato. Il delta le funzioni dovrebbero essere parallele al piano reale / immaginario e perpendicolari all'asse della frequenza.)