Perché l'aliasing del rumore della banda larga non si accumula nella banda campione?

Di recente ho creato una simulazione per studiare il campionamento, gli effetti dell'aliasing e gli effetti dei filtri anti-aliasing sul segnale campionato.

Per le frequenze fondamentali sopra la banda di campionamento è ovvio che si vedono "impostori" nel segnale campionato. Utilizzando un filtro antialiasing posso eliminare gli impostori.

Ma se impongo piuttosto un segnale di rumore a banda larga (in realtà rumore bianco) nel campionatore, allora non fa molta differenza se il filtro anti-aliasing è presente o meno. Il rumore da picco a picco è lo stesso in entrambi i casi. Ovviamente la larghezza di banda del rumore è cambiata.

Inoltre, mi aspetterei che il rumore a banda larga con alias (impostore) all'esterno della banda di campionamento si sovrapponesse al rumore a banda larga che è effettivamente trasmesso nella banda di campionamento, quindi "accumulandosi" con un picco maggiore a livello di picco.

Perché questo non succede?

Dovrei menzionare che il mio passo temporale della simulazione è nel MHz e il mio sistema in fase di studio nella gamma 1 kHz. Quindi il sistema è praticamente in un mondo continuo.

noise sampling active-filter

— docscience
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Questa è una domanda fantastica che mi sono sempre chiesto di me stesso ...

— Matt Young,

Se misurate l'ampiezza del rumore su un ambito, quale ampiezza vedete (a) prima e (b) dopo il filtro AA?

— Brian Drummond,

@BrianDrummond Quell'esperimento non affronta necessariamente il punto della mia domanda. Anche un ambito digitale sovrastampa notevolmente e ha i propri filtri anti-aliasing integrati. Quindi l'ambito di applicazione è "continuo" e gli effetti del campionamento non vengono affrontati.

— docscience,

Perché dici che il filtro AA non fa differenza? Trovo più facile pensare all'output picco-picco del campionatore, ma funziona anche per RMS. Se si immette un rumore a banda larga di 1 MHz BW e 1 V pk-pk direttamente nel campionatore a 2 KHz, l'uscita del campionatore sarà 1v pk-pk. Se ora si aggiunge il filtro AA (muro di mattoni 1KHz BW) e lo si immette nel campionatore, la tensione di ingresso sarà ~ 30mV pk-pk (30dB att) e l'uscita del campionatore sarà ora 30mv pp ancora con 500Hz BW. Il rumore sopra Nyquist è stato modificato nella banda di uscita. Kevin

— Kevin White,

Risposte:

Hai ragione: dopo il campionamento, i componenti del rumore con alias si accumulano nella banda di frequenza al di sotto della frequenza di Nyquist. La domanda è: esattamente cosa si accumula e qual è la sua conseguenza.

Nel seguito presumo che trattiamo il rumore casuale modellato come un processo casuale stazionario ad ampio senso (WSS), cioè un processo casuale per il quale possiamo definire uno spettro di potenza. Se è il processo del rumore e è il processo del rumore campionato (con periodo di campionamento ), lo spettro di potenza di è una versione con alias dello spettro di potenza di $N(t)$ $R_k= N(kT)$ $T$ $R_k$ : $N(t)$

\begin{matrix} (1) & S_{R} (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} S_{N} (f - k f_{s}) \end{matrix}

$S_R(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}S_N(f-kf_s)\tag{1}$

$f_s=1/T$ $N(t)$ $N(t)$ $[0,f_s/2]$

$N(t)$ $N(t)$ $R_k$ $[0,f_s/2]$ $S_N(f)$ . $[0,f_s/2]$

Di conseguenza, la potenza del rumore non cambia dopo il campionamento, indipendentemente dalla frequenza di campionamento. Il rumore campionato ha la stessa potenza del rumore a tempo continuo originale.

Quindi la potenza del rumore campionato cambia solo se si cambia la potenza del rumore a tempo continuo, e questo può essere fatto dal filtro anti-aliasing, perché il filtro riduce la larghezza di banda del rumore e, di conseguenza, la potenza del rumore. Nota che solo guardare il valore picco-picco non dice molto, perché devi considerare la potenza.

Riferimento:

EA Lee, DG Messerschmitt: Digital Communication , 2nd ed., Sezione 3.2.5 (pagg. 64)

— Matt L.
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L'energia rappresentata dal segnale campionato è correlata solo al PDF (funzione di densità di probabilità) del segnale di ingresso e alla frequenza di campionamento. La larghezza di banda effettiva del segnale di ingresso non influisce su questo.

In altre parole, quando si sottocampiona un segnale a banda larga, si ottiene un set di campioni che hanno lo stesso PDF del segnale a banda larga originale, ma quei campioni hanno solo una larghezza di banda effettiva di Fs / 2. L'energia "in eccesso" al di fuori di quella larghezza di banda era semplicemente non mai stata catturata dal processo di campionamento.

Se raddoppi la frequenza di campionamento, "catturerai" il doppio dell'energia.

— Dave Tweed
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Stai dicendo che per una determinata potenza del rumore in ingresso, aumentando la frequenza di campionamento aumenta la potenza del rumore del rumore campionato?

— Matt L.

Sì, purché la larghezza di banda del rumore sia ancora maggiore o uguale alla nuova larghezza di banda di campionamento.

— Dave Tweed

Non è così. Se si modella il rumore come processo casuale stazionario (di ampio senso), il rumore campionato ha la stessa potenza del processo di rumore a tempo continuo originale, indipendentemente dalla frequenza di campionamento.

— Matt L.

@MattL .: Su cosa basi quell'asserzione? Forse dovresti spiegare più dettagliatamente in una risposta separata.

— Dave Tweed

OK, scriverò una risposta non appena avrò più tempo; potrebbe richiedere fino a domani però.

— Matt L.