Pali e diagrammi di Bode

Ho tre domande che mi preoccupano da molto tempo:

1. Diciamo che, in un diagramma di Bode, c'è un calo di guadagno di 20 dB per decennio ogni volta che si incontra un polo. Ma i poli non sono definiti come i valori di $s$ che rendono infinita la funzione di trasferimento? Quindi perché il guadagno non sale a questo punto invece di scendere?

2. Fisicamente cosa succede quando alimentiamo un sistema con una frequenza polare?

3. Inoltre, considera una funzione di trasferimento $1/(s+2)$ . Il sistema ha un polo su $s=(-2+j0)$ . Cioè, per il polo, $\sigma=-2$ e $\omega=0$ . Ma quando applichiamo un segnale sinusoidale al suo ingresso e disegniamo il diagramma di Bode, perché diciamo che esiste un polo a 2 rad / sec (anche se, per il polo, $\omega=0$ e $\sigma =-2$ )?

Il diagramma di Bode non è un grafico che traccia la funzione di trasferimento ( ) contro s . H ( s ) è una funzione complessa e il suo diagramma di grandezza in realtà rappresenta una superficie nel sistema di coordinate cartesiane. E questa superficie avrà picchi che vanno all'infinito su ciascun polo come mostrato in figura:$H(s)$$s$$H(s)$

Il diagramma di Bode si ottiene sostituendo prima in H ( s ) e quindi rappresentandolo in forma polare H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) fornisce il diagramma del nodo di magnitudo e ϕ ( ω ) dà il diagramma del nodo di fase.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Il diagramma della magnitudine di Bode è l'approssimazione asintotica della grandezza della funzione di trasferimento ( ) rispetto al logaritmo della frequenza in radianti / sec ( log 10 | ω | ) con | H ( s ) | (espresso in dB) sull'asse y e registro 10 | ω | sull'asse x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Venendo alle domande:

1. Ai poli, la complessa superficie di picchi all'infinito non | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Quando un sistema viene alimentato con frequenza polare, l'uscita di cosponsoring avrà la stessa frequenza ma l'ampiezza e la fase cambieranno. Il valore può essere determinato sostituendo la frequenza in radianti / sec in e ϕ ( ω ) rispettivamente.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Un polo a -2 rad / sec e 2 rad / sec ha lo stesso effetto su . E il nostro interesse è per la risposta in frequenza. Quindi abbiamo bisogno solo di una parte positiva di esso.$|H(\omega)|$

Quando provo a capire le funzioni di trasferimento, penso che l '"analogia dei fogli di gomma" sia molto utile. Immagina un foglio di gomma elastico che copre il complesso$s$piano, e immagina che ad ogni zero della funzione di trasferimento il foglio sia attaccato a terra, e ad ogni polo vi sia un palo sottile letterale che spinge il foglio di gomma verso l'alto. L'entità della risposta in frequenza è l'altezza del foglio di gomma lungo il$j\omega$-asse.

1. Dall'analogia di cui sopra, ovviamente il guadagno sale verso il polo. Allontanandosi dal polo, il contributo del polo riduce la funzione di trasferimento (ad es. Andando verso lo zero successivo). Immagina il semplice sistema che hai fornito come esempio nella tua terza domanda. Ha un polo a valore reale a$s_{\infty}=-2$e - a causa di questo polo - ha anche uno zero a $s_0=\infty$. Allontanandosi così dal polo con frequenza crescente, la funzione di trasferimento si abbassa perché il foglio di gomma è fissato a terra all'infinito. Matematicamente, questo è anche facile da vedere:

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ In decibels we get $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ For $\omega\gg 2$ the second term on the right-hand side of (1) can be approximated by $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ which is a straight line with a slope of $-20\,\text{dB}$ per decade.

2. When you excite a system with a signal corresponding to one of its poles, then this input signal is "amplified" compared to input signals with other frequencies. Note, however, that for a stable system the output signal will always decay. E.g. if you excite the system with transfer function $H(s)=\frac{1}{s+2}$ with an input signal $x(t)=e^{-2t}$, then the output will be $y(t)=te^{-2t}$, where the factor $t$ corresponds to the system's "amplification" of the input signal. However, the exponential factor will make the signal approach $0$ for large values of $t$.

3. In short, we don't say that there's a pole at $2$ rad/s, because there isn't. What is indeed the case is that the cut-off frequency is determined by the real part of the pole, i.e. the starting point of the line with negative slope in the Bode plot is determined by the value $2$. This is the example I gave in point 1 above, where the straight line approximation with $-20$ dB per decade is valid for $\omega\gg 2$. The value $2$ is not determined by the pole frequency (which is zero) but by the real part of the pole.

The graph shows the difference between the natural frequency in the complex $s$-plane (infinite) and the corresponding magnitude peak along the $j\omega$ axis which can be observed during measurements: The graph belongs to a natural frequency of $\omega_p=1000$ rad/s and a pole quality factor $Q_p=1.3$ (which is a measure of the observable gain peaking). This plot visualizes a 2nd-order Chebyshev characteristics with 3 dB ripple in the passband.

The "s" in your equations is the constant in the function exp(s*t). So, when s is a real number, this time function is an exponentially growing or falling function. Your example with s=-2 is an exponentially falling function. For any pole "number", the output will grow when you apply an input at that "number". If you apply an exponentially falling signal to your example circuit, the output signal will go to infinity. (Note, however, that it is not possible to generate a signal that is always exponentially falling, because such a signal is very large at times in the past). When you talk of frequencies like 2 radians/sec, you are speaking of poles at j*2, not 2, so those signals are sinusoidal. It is possible to generate signals that are sine waves (at least for a pretty long time). You will get infinities out if you apply this sine wave signal to a system with a pole at +-j*2, but not if you apply it to a system with a pole at -2.