Analisi del filtro Notch attivo Twin-T

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Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento nell'analisi del filtro Notch attivo Twin-T? Ho provato una trasformazione delta-stella, seguita da un'analisi nodale, ma ho finito con equazioni contrastanti. Per un esempio, guarda la Figura 1 della nota applicativa di Texas Instruments " Una raccolta di circuiti audio, parte 2 ":

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Nell'esempio più generale che sto studiando, rimuovo C4 / C5 e R6 / R7 (e quel Vcc) e tratto i componenti passivi T come conduttanze abbinate come segue:

R1 e R2 diventano Y1, R3 diventa 2Y1, C1 e C2 diventano Y2, C3 diventa 2Y2, R4 e R5 partitore di tensione generico con resistenze R1 e R2

audio operational-amplifier filter

— Giorgio
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Sembra una domanda che dsp.stackexchange.com pensa dovrebbe essere in tema lì. Cosa pensano gli altri?

— Kellenjb,

@Kellenjb - Anche qui è in argomento, ma potrebbe ottenere una risposta migliore lì. Se i ragazzi dell'OP o del DSP lo vogliono migrare, possiamo farlo - sicuramente potrebbe occupare un po 'più di attenzione. In alternativa, elabora uno schema e carica l'immagine per spostarla sulla prima pagina, dove dovrebbe ricevere più attenzione .... non sei sicuro di come abbia perso la prima volta.

— Kevin Vermeer,

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La trasformata Delta-Star può essere utilizzata per analizzare la rete Twin-T usando la seguente procedura:

Le due reti T possono essere convertite in reti Delta gemelle in parallelo:
Condensa queste due reti Delta in un'unica rete Delta
Converti la rete Delta risultante in una rete T.
Per vedere il comportamento della tacca del gemello T passivo, supponiamo che il nodo 2 sia collegato a terra e tratta la rete Delta ottenuta al punto 3 come un divisore di tensione.

Troverai una funzione di trasferimento di .
$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
Per vedere l'effetto del bootstrap, supponiamo che il nodo 2 sia tenuto a una tensione α Vout, dove α è un fattore di ridimensionamento tra 0 e 1. La rete T agisce ancora come un divisore di tensione, dividendo tra Vin e α Vout. Per trovare il comportamento del sistema, dobbiamo risolvere l'equazione , dove è la funzione di trasferimento senza feedback. In questo modo, troviamo una nuova funzione di trasferimento: . Nota che per (nessun feedback), abbiamo , come previsto. Per
$v_{out} = α \cdot v_{out} + H (s) (v_{in} - α \cdot v_{out})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$ , il sistema diventa instabile. Tracciando questa funzione per valori di alfa compresi tra 0 e 1, troviamo un enorme aumento della Q della tacca.

La funzione di trasferimento risultante è: .

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

Ecco come appare la risposta in frequenza, poiché viene modificato il guadagno di feedback : $\alpha$

L'algebra delle varie trasformazioni è un po 'noiosa. Ho usato Mathematica per farlo:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— nibot
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Ecco un modo per farlo: il filtro notch con feedback è un po 'più complicato, quindi per ora illustrerò semplicemente come fare la forma generale del filtro notch Twin-T:

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Per risolvere il circuito usando l'analisi nodale, cosa fare è convertire la sorgente di tensione Vin nella sua equivalente sorgente Norton - è un po 'complicato perché devi convertire Vin in due fonti Norton per tenere conto di R1 e C1 e quindi riorganizzare il circuito per compensare . Come questo:

versione sorgente attuale

I punti 1, 2 e 3 sono mostrati nelle loro nuove posizioni sul circuito equivalente. Dovresti quindi essere in grado di annotare le equazioni KCL mediante ispezione e creare una matrice aumentata di 3 per 3 nelle incognite V1, V2 e V3. Puoi quindi risolvere V2 / Vo in termini di Vin usando la regola di Cramer.

Il circuito di feedback come mostrato nella scheda tecnica TI non dovrebbe essere molto più complicato, poiché l'uscita è bufferizzata da U1A e U1B, quindi è possibile creare un circuito equivalente di sorgente di corrente simile; invece di R2 e C2 nel mio primo diagramma andando a terra sarebbero collegati a una sorgente di tensione con un valore di , dove alpha è il rapporto di divisione della tensione. $Vo*\alpha$

Modifica: primo diagramma corretto

— Bitrex
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