Calcola il numero minimo di resistori da 120 Ω per ottenere 80 Ω di resistenza?

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Di recente ho dovuto fare dei test nell'elettronica di base. Non ho capito bene una domanda, ma non capisco bene perché.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Le possibili risposte a questa domanda sono 2, 3, 4 and 6. L'unica risposta che mi viene in mente è 6, con i resistori disposti come mostrato sotto. Ma 6non è la risposta corretta.

Domanda:

Quanti resistori sono necessari e per disporli?

schematico

^{simula questo circuito - Schema creato usando CircuitLab}

Conosco solo le basi dell'elettronica, quindi spero che i miei pensieri siano corretti.

resistors

— Marius Schär
fonte

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@Autistic sarebbe 120 e 120 in parallelo non sarebbe 60?

— Marius Schär,

3

forse Autistico è essere artistico

— Marla,

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Il numero è tre. Dedurre la combinazione è lasciato come esercizio al lettore ... ma ci sono solo tante possibilità.

— Chris Stratton,

2

Questo è il tipo di problema che può sconfiggerci tutti. A volte la soluzione più semplice è di fronte a noi. Incoraggio domande come questa. Mi piace davvero guardare in un'intervista, questo tipo di domanda. Martin, non stare male. . Io stesso mi sono perso su questo tipo. Siamo bloccati dai nostri limiti

— Marla,

4

Intendevo 120 in parallelo con 2 resistori da 120 ohm serie.

— Autistico,

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120 || (120 + 120) Se due 120 in parallelo danno 60, vuoi che uno dei rami sia un po 'più alto, quindi ... questa è la prossima cosa da provare.

E il metodo è vero in generale per ottenere un resistore con valore 2/3 usando solo un contenitore dello stesso tipo. E in generale per risolvere problemi come questo, vale la pena ricordare che la resistenza equivalente di due resistori paralleli è inferiore a quella di uno dei rami. Puoi anche ottenere 3/4 (quindi 90) per esempio aggiungendone uno in più a un ramo.

NB: Grazie al documento di Massimo Ortolano , ora so che quello che ho fatto sopra seguendo solo l'intuizione è che ho sostanzialmente seguito il percorso di ricerca indicato di seguito nell'albero Stern-Brocot :

— effervescenza
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Wow, grazie per quello! Sarebbe davvero utile se insegnassero questo semplice metodo in classe ..

— Marius Schär,

10

Il punto dell'educazione è spesso innescare la scoperta, non semplicemente dirti le cose.

— Chris Stratton,

3

Anche codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

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Una soluzione diretta può essere trovata attraverso l'applicazione di frazioni continue .

Se quello che hai è 120Ω e quello che vuoi è 80Ω, annota la frazione:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Poiché la parte intera è zero, inizierai mettendo i resistori in parallelo. Invertire la parte frazionaria:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Questo ti dice che avrai 1 resistenza in parallelo con un certo numero di resistori in serie. Invertire di nuovo la parte frazionaria:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Questo ti dice che hai bisogno di 2 resistori in serie. Dal momento che non esiste una parte frazionaria a questo punto, il gioco è fatto.

La risposta è un totale di 3 resistori.

— Dave Tweed
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Combinazioni di resistenze di frazioni continue .... ordinate.

— Jasen,

1

Pensi che questo algoritmo fornisca la soluzione minima [in numero di resistori] in generale? Sembra che ci sia un recente articolo sull'argomento, ma sembra essere una recensione orientata all'istruzione. Non riesco a vedere la menzione di minimalità.

— Fizz,

2

Inoltre math.stackexchange.com/questions/14645/… Nota che la risposta accettata è in realtà errata!

— Fizz,

6

@RespawnedFluff: no, generalmente non fornisce una soluzione minima. L'uso della continua espansione della frazione produce una soluzione composta solo da combinazioni parallele e in serie, ma, in generale, si possono trovare soluzioni con meno resistori prendendo in considerazione anche resistori collegati a ponte. Si può dimostrare che, per le reti planari , il problema è equivalente a quello del riempimento dei rettangoli con quadrati a faccia intera . Se poi si considerano anche reti non planari, probabilmente si possono trovare soluzioni con ancora meno elementi.

— Massimo Ortolano,

3

Ai fini della ricerca di parole chiave [migliore], la soluzione indicata da Dave si basa sull'approssimazione dell'albero Stern – Brocot di un numero reale. A proposito, l'ho scoperto leggendo il documento di Massimo Ortolano, che è anche disponibile gratuitamente su arxiv .

— Fizz,

20

Puoi cambiare la tua soluzione scambiando seriale e parallelo:

schematico

^{simula questo circuito - Schema creato usando CircuitLab}

È quindi possibile raggruppare R2, R3, R5 e R6 in un singolo gruppo 2x2:

schematico

^{simula questo circuito}

$120\Omega$ $120\Omega$

schematico

^{simula questo circuito}

— maniaco del cricchetto
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1

Questo è lo stesso di quello che user92407 ha detto un auricolare di 3 ore, sebbene con un diagramma.

— Dave Tweed

1

Tuttavia trovo utile l'aggiunta; sta effettivamente utilizzando l'equivalente problema di piastrellatura geometrica indicato da Massimo Ortolano . Le quattro resistenze che possono essere sostituite formano un quadrato [più grande].

— Fizz,

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Prendi la tua soluzione ma senza un punto centrale nel mezzo: puoi riorganizzarla come tre sezioni parallele di 120 + 120 Ohm ciascuna (il collegamento dei punti centrali non fa differenza poiché sono tutti alla stessa tensione). Ora due delle tre sezioni parallele 120 + 120 Ohm si combinano nuovamente in 120 Ohm, quindi è possibile sostituire quelle 4 resistenze dei due gruppi paralleli con una sola, lasciando solo una resistenza da 120 Ohm parallela a 120 + 120 Ohm.

Esistono moltissime soluzioni che dimostrano la correttezza di questa soluzione una volta ottenuta. Ma questo riarrangiamento mostra come trovarlo senza tornare a tentativi ed errori matematici.

— user92407
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1

In realtà comporta tentativi ed errori [in generale]. Non esiste una soluzione nota per il problema della piastrellatura minima di un rettangolo con quadrati interi che non comportano una ricerca esaustiva. Esistono alcune euristiche che potano l'albero della soluzione, ma non garantiscono una soluzione minima.

— Fizz,

4

Elaborando la risposta di @ RespawnedFluff, un modo per trovarlo è pensare nel modo seguente:

Che resistenze ho, ok 120.
Cosa devo fare, 80
Quali equazioni conosciamo? Bene, i due resistori in serie o in parallelo sono i punti di partenza più semplici. Chiaramente le serie non aiutano immediatamente: ciò aumenterebbe la resistenza, non la ridurrebbe. Quindi dovremo provare in parallelo. Conosciamo le equazioni:

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Quindi forse cominciamo con quello:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

$R_1=120$ $R_2$
$R_2$ $R_1$ $R_2$

Questo approccio è piuttosto iterativo, ma in questo caso avrebbe trovato rapidamente sia la risposta ottenuta (usando 6 resistori), sia la risposta che @RespawnedFluff ha ottenuto (usando 3 resistori).

$180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

$R_2$ $R_2$

— Tom Carpenter
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Ho corretto la mia risposta. Avevo incasinato totalmente la mia spiegazione.

— Tom Carpenter,

Se un ramo di resistenza è fisso, questo è facile da risolvere (o determinare che non esiste una soluzione [intera]). Non sono ancora sicuro di come risolvere anche con due rami, non importa in generale. È un'equazione diofantea più complicata.

— Fizz,

Il problema è probabilmente NP-completo per quanto riguarda l'enumerazione: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Resistenza di base in serie e resistenza in logica parallela. Molto semplice..

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

$R1 = 120\Omega$

$R2 = 240\Omega$

Ma qui non possiamo usare un resistore da 240Ω poiché si dice che abbiamo solo resistori da 120Ω. Quindi invece di 240Ω, useremo 120Ω + 120Ω (in serie) in parallelo con un singolo resistore da 120Ω.

— Rohit Dani
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Questa è la stessa cosa che Tom Carpenter ha detto 11 ore prima. Proviamo a evitare di duplicare le risposte.

— Dave Tweed