Calcola le resistenze di tutte le possibili connessioni all'interno di una scatola nera di terminali N in base alle misurazioni tra i terminali

Sebbene sembrerebbe che questo non sia il giusto SE per questo thread poiché si tratta di creare un algoritmo, il problema riguarda in realtà trovare un approccio sistematico alla semplificazione di circuiti resistivi arbitrariamente grandi di un particolare modello.

Al lavoro, abbiamo diversi pantaloncini all'interno di un pezzo di equipaggiamento, ma non sappiamo dove. L'apparecchiatura è una scatola nera che non può essere aperta. Ho preso il mio multimetro e ho popolato una matrice delle resistenze attraverso ogni combinazione dei terminali disponibili. Qualcosa di simile a:

Come sapete, queste misurazioni sono prive di significato a causa dell'accoppiamento incrociato con altri terminali. Voglio sapere come le reti si collegano tra loro - in altre parole voglio calcolare i valori delle resistenze mostrate sul seguente circuito equivalente (esempio per N = 4).

schematico

^{simula questo circuito - Schema creato usando CircuitLab}

Ci sono: Misure effettuate e: resistenze sconosciute, quindi è possibile per risolvere l'intero circuito in base alla tabella mostrata sopra con il seguente algoritmo:

\sum_{i = 1}^{N - 1} (i - 1)

$\sum_{i=1}^{N-1}(i-1)$

\sum_{i = 1}^{N - 1} (i - 1)

$\sum_{i=1}^{N-1}(i-1)$

Per ogni misurazione effettuata Rij, dove iej sono 0 ... N.
- Calcola la formula della resistenza equivalente del circuito tra i terminali iej in funzione delle resistenze "X". Semplificare.
Riorganizza per costruire la matrice [X] in: $(\begin{matrix} R_{1, 2} \\ R_{1, 3} \\ . . . \\ R_{N - 1, N} \end{matrix}) = [X] (\begin{matrix} X_{1, 2} \\ X_{1, 3} \\ . . . \\ X_{N - 1, N} \end{matrix})$ $\left( \begin{array}{c} R_{1,2}\\ R_{1,3}\\ ...\\ R_{N-1,N}\\ \end{array} \right)= \mathbf{[X]}\left( \begin{array}{c} X_{1,2}\\ X_{1,3}\\ ...\\ X_{N-1,N}\\ \end{array} \right)$
Risolvi usando: $(\begin{matrix} X_{1, 2} \\ X_{1, 3} \\ . . . \\ X_{N - 1, N} \end{matrix}) = {[X]}^{- 1} (\begin{matrix} R_{1, 2} \\ R_{1, 3} \\ . . . \\ R_{N - 1, N} \end{matrix})$ $\left( \begin{array}{c} X_{1,2}\\ X_{1,3}\\ ...\\ X_{N-1,N}\\ \end{array} \right)=\mathbf{[X]}^{-1}\left( \begin{array}{c} R_{1,2}\\ R_{1,3}\\ ...\\ R_{N-1,N}\\ \end{array} \right)$

I passaggi 2 e 3 sono facili, ma ho difficoltà a trovare un algoritmo per gestire automaticamente il calcolo della resistenza equivalente. Posso fare facilmente fino a 4 terminali (c'è una trasformazione Star / Delta da fare per 4), ma il mio sistema ha 7 terminali e il metodo manuale non è più abbastanza buono, e l'ho provato.

Le leggi di Kirchoff sembrano più adatte alla generazione automatica delle equazioni, ma anche se penso di poter generare le equazioni del nodo, non ho un modo sistematico di generare le equazioni del ciclo.

È un problema molto interessante ed eccitante per cui la soluzione sarà utile per molte persone secondo me. Qualcuno potrebbe aiutarmi ad automatizzare il calcolo della resistenza equivalente (o risolverlo per N = 7, dopo tutto funzionerebbe anche per N <= 7)?

— Signor Mystère
fonte

Sembra che la tua formulazione sia già impostata per N terminali, a meno che non mi manchi qualcosa. Se questo è il caso e una soluzione numerica è accettabile, qualsiasi risolutore di matrici standard dovrebbe funzionare, ad esempio decomposizione LU, eliminazione gaussiana, ecc.

— helloworld922

Se avessi popolato la matrice X, non avrei alcun problema a risolverlo con Matlab. È la fase di semplificazione del circuito per la quale faccio fatica a trovare un algoritmo.

— Mister Mystère,

Vedo che diventa davvero complicato dopo 3 righe !!!

— Andy aka

Anzi, sfortunatamente ...

— Mister Mystère,

Questo articolo può essere utile se hai accesso a IEEE ( ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=1083633 ). Sembra che potresti aver bisogno di capire come trasformare prima la rete in un equivalente planare, che indicano che è stato fatto nel caso di un 7 gon completo in questa pubblicazione che non riesco a trovare online: worldcat.org/ titolo / ...

— Giustino,

$N = 3$ $R_{12}$

R_{12} = X_{12} | | (X_{13} + X_{23}) = \frac{X_{12} (X_{13} + X_{23})}{X_{12} + X_{23} + X_{13}}

$R_{12} = X_{12} || (X_{13} + X_{23}) = \frac{X_{12} (X_{13} + X_{23})}{X_{12} + X_{23} + X_{13}}$

R_{i j} = a X_{12} + b X_{13} + c X_{23}

$R_{ij} = a X_{12} + b X_{13} + c X_{23}$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

Potrebbe esserci un metodo che salta questa moltiplicazione di matrice (qualcosa di più vicino alle trasformazioni a stella), ma non lo vedo ...

— Greg d'Eon
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Grazie, è molto utile conoscere una dimostrazione che qualcosa non è possibile prima di perdere troppo tempo a esplorarlo. Ho creato un altro thread (collegato) che ha portato a una prima versione dello strumento basata su un metodo diverso.

— Mister Mystère,

Rielaborando il circuito su un piano piatto e collegando i resistori in ordine, sembra che N3 venga bloccato da N5 senza passare al 3D. Quindi la teoria delle mesh standard non si applica perché le mesh sono non planari dopo N = 4. Forse c'è un'altra metodologia. Parole chiave: maglia non planare

Ho provato a inserirlo in un "commento" ma sono una nuvola ... quindi non è permesso.

— Mike_Lincoln
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Forse fraintendere "ogni rete che ho ha una resistenza a ogni rete i + 1"

— Mike_Lincoln