Perché la velocità dei dati di Nyquist è inferiore alla velocità dei dati di Shannon?

Nel libro Reti di computer , l'autore parla della velocità massima di dati di un canale. Presenta la formula di Nyquist:

C = 2H log V (bit / sec)$_2$

E dà un esempio per una linea telefonica:

un canale silenzioso a 3 kHz non può trasmettere segnali binari (cioè a due livelli) a una frequenza superiore a 6000 bps.

Spiega quindi l'equazione di Shannon:

C = H log (1 + S / N) (bit / sec)$_2$

E fornisce (di nuovo) un esempio per una linea telefonica:

un canale con una larghezza di banda di 3000 Hz con un rapporto segnale rumore termico di 30 dB (parametri tipici della parte analogica del sistema telefonico) non può mai trasmettere molto più di 30.000 bps

Non capisco perché il tasso di Nyquist sia molto più basso del tasso di Shannon, poiché il tasso di Shannon tiene conto del rumore. Immagino che non rappresentino la stessa velocità dati ma il libro non lo spiega.

Per capirlo devi prima capire che i bit trasmessi non devono essere puramente binari, come indicato nell'esempio per la capacità di Nyquist. Diciamo che hai un segnale che varia tra 0 e 1 V. È possibile mappare da 0v a [00] .33v a [01] .66v a [10] e da 1v a [11]. Quindi, per tener conto di ciò nella formula di Nyquist, cambieresti 'V' da 2 livelli discreti a 4 livelli discreti, cambiando così la tua capacità da 6000 a 12000. Questo potrebbe essere fatto per qualsiasi numero di valori discreti.

C'è un problema con la formula di Nyquist. Dal momento che non tiene conto del rumore, non c'è modo di sapere quanti valori discreti sono possibili. Quindi Shannon si avvicinò e trovò un metodo per posizionare essenzialmente un massimo teorico sul numero di livelli discreti che puoi leggere senza errori.

Quindi nel loro esempio di essere in grado di ottenere 30.000 bps, dovresti avere 32 valori discreti che possono essere letti per significare simboli diversi.

La velocità dei dati di Nyquist (non la frequenza di Nyquist) è la velocità massima per un segnale binario (2 livelli discreti).

La velocità di Shannon tiene conto dei livelli del segnale, poiché la velocità massima dei dati non è solo una funzione della larghezza di banda - se è possibile utilizzare un numero infinito di livelli di segnale, la velocità dei dati può essere infinita indipendentemente dalla larghezza di banda.
Poiché l'incremento di livello più piccolo possibile dipende dal rapporto segnale-rumore, ecco perché è incluso nella frequenza di Shannon. Quindi, per l'esempio sopra, viene mostrato per una larghezza di banda di 3000kHz e un SNR di 30dB, è possibile trasmettere livelli che rappresentano 5 bit di informazioni ciascuno.

Il rapporto di potenza di 30 dB = 1000 a 1 può essere riconvertito in tensione di sqrt (1000) = ~ 32 livelli distinguibili (5 bit). Se lo applichiamo al teorema più semplice di Hartley, otteniamo 2B * log2 (32) = 30kHz per B = 3Khz. Quindi 5 bit di informazioni volte la velocità di dati di Nyquist di 2B (= 6000 in questo esempio) equivalgono a 30.000 bit / sec.

Uno descrive la velocità di campionamento, l'altro la quantità di dati che è possibile trasferire. La frequenza di campionamento minima richiesta è solo una funzione della frequenza più alta che si desidera rappresentare correttamente. Ciò è indipendente dalla quantità di rumore sul canale. Tuttavia, con meno rumore è possibile trasferire più informazioni per campione. In altre parole, Nyquist dice quale deve essere la frequenza di campionamento e Shannon dice quanti bit ottieni per campione.