Come posso calcolare l'aumento di temperatura in un conduttore di rame?

Se passo una corrente attraverso un conduttore di rame, come posso calcolare la temperatura del conduttore?

Ad esempio, se ho un carico di 7,2 kW alimentato a 240 V CA, la corrente sarà di 30 A. Se trasmetto questa potenza al carico tramite un conduttore in rame da $2.5mm^2$ , come posso calcolare quanto sarà caldo questo conduttore?

AGGIORNARE:

Dai commenti e dalla risposta di Olin e Jason, ho creato il seguente grafico che mostra Watts per piede di $2.5mm^2$ filo di rame:

Ma come faccio a tradurlo nell'effettivo aumento della temperatura. Capisco che la variabile mancante è la velocità di raffreddamento, ma ho solo bisogno di avere un'idea di quale sia la massima corrente sicura che può essere fatta passare attraverso un cavo di rame di un determinato spessore.

Supponendo una corrente costante e che non vi è alcun raffreddamento, come posso calcolare i gradi di aumento di temperatura all'ora per Watt per la lunghezza del piede del cavo di rame in questione?

Nella tua modifica, ciò che manca è che la velocità di raffreddamento dipenderà dalla temperatura. In generale, la velocità di raffreddamento aumenta all'aumentare della temperatura. Quando la temperatura aumenta abbastanza da far corrispondere la velocità di raffreddamento alla velocità di riscaldamento, la temperatura si stabilizzerà.

Ma la velocità di raffreddamento effettiva è molto difficile da calcolare. Dipende da quali altri materiali il rame è in contatto (raffreddamento conduttivo), il flusso d'aria attorno al conduttore, ecc.

Come ulteriore complicazione, la velocità di riscaldamento dipenderà anche dalla temperatura, poiché la resistenza del rame aumenterà a temperature più elevate.

Quindi, senza informazioni molto più dettagliate sul tuo conduttore e sul suo ambiente, non è davvero possibile dare una risposta precisa alla tua domanda iniziale, quanto farà caldo ?.

Per quanto riguarda la seconda domanda, quanto velocemente si riscalda se non c'è raffreddamento, puoi calcolarlo dalla capacità termica del rame, che Wikipedia fornisce come 0,385 J / (g K) o 3,45 J / (cm ^ 3 K) .

In teoria puramente senza raffreddamento:
E ( t ) = ∫ P d t T = T 0 + d T d T $P=I^2*R(T)$
$E(t)=\int{P dt}$
$T=T0+dT$
m=V∗densityV=l∗AR(T)=l/A∗$dT=\frac{E(t)}{m*C}$
$m=V*density$
$V=l*A$
$R(T)=l/A*r(T)$

Quanto sopra può essere condensato in un'approssimazione lineare:
$R(T)~=l/A*(r+T*\alpha) -> R(dT)~=l/A*(r0+dT*\alpha)$

combinando tutto questo: $dT ~= \int{I^2*l/A*(r0+dT*\alpha) dt}/(l*A*density*C) = I^2/(A^2*density*C)*\int{r0+dT*\alpha dt}$

se allora d T = I 2 * r 0 * d t / ( A 2 * d e n s i t y * C $dT*\alpha << r0$$dT ~= I^2*r0*dt/(A^2*density*C)$

se non avessi incasinato qualcosa :) e alla fine si sarebbe sciolto

I: corrente, R: resistenza, P: potenza, T: temperatura, t: tempo, E: energia, m: massa, V: volume, l: lunghezza, A: sezione del filo, C: capacità termica del rame

Naturalmente esiste sempre un qualche tipo di trasferimento di calore: conduzione, convezione, radiazione. Una buona regola pratica è quella di consentire 2,5 A / mm ^ 2 su un filo di rame in una bobina con più strati, 4..5 A / mm ^ 2 per singolo strato (senza isolamento termico) e 8..9 A / mm ^ 2 richiederà un raffreddamento attivo.

Il commento di Olin ha un buon inizio nell'analisi quantitativa, ma tieni presente che l'effetto di un watt o due per piede in un filo AWG 18ga (circa 1 mm di diametro) è abbastanza diverso da un filo 38ga (circa 0,1 mm di diametro). 2,5 mm ^ 2 = circa 0,89 mm raggio 1,78 mm diam = circa 13ga di filo AWG che è abbastanza grande e un watt per piede probabilmente va bene, ma vediamo:

La pagina di Wikipedia per AWG = calibro di filo americano mostra il "elettrico" del filo di rame del National Electric Code (capacità corrente) a diverse temperature per filo isolato, e 13 AWG (non un prodotto standard) è a metà strada tra la classificazione 12 AWG di 25A a 60 ° C isolamento e 14AWG di 20 A a 60 ° C di isolamento, quindi la mia ipotesi è che a 30 A sarebbe piuttosto caldo (probabilmente> = 100 ° C a 25 ° C ambiente) senza raffreddamento convettivo.

La pagina di Wikipedia elenca anche la resistenza al rame di 13 AWG come 2 milliohm per piede, quindi P = 2 milliohm * 30A ^ 2 = 1,8 W / piede; la "valutazione" di 22,5 A con isolamento nominale di 60 ° C (media delle valutazioni vicine) ha una dissipazione di quasi 1 W / piede.

Moving away from the pure calculus, just look at the manufacturers rating. Most cables are limited by the insulation material as this melts long before the cable causing catastrophic failure.

Pensa a un filo di sicurezza. Un filo con fusibile da 30 A è molto sottile e molto più sottile del cablaggio interno. La differenza? il filo del fusibile può surriscaldarsi poiché non è presente alcun isolamento e si desidera che si rompa di conseguenza. I cavi di distribuzione sono classificati tenendo conto di una miriade di condizioni operative (tipo di montaggio, materiale isolante, numero di nuclei, ecc.). Tutti i produttori forniranno indicazioni sulla classificazione e la declassamento (a seconda del metodo di installazione e di altri fattori) dei loro cavi. A meno che non si utilizzino i calcoli con sbarre collettrici di rame esposte aperte, i calcoli non valgono davvero la loro sale, la capacità del rame è molto superiore alla capacità del cavo. ad es. 30 A filo del fusibile è solo 0,4 mm ^ 2 ma non si cablerebbe la caldaia con quello. (per inciso, il filo del fusibile da 30 A necessita di circa 170 A per rompersi in 1 secondo,

Approssimazione dell'aumento della temperatura nel filo.
AWG-- Corrente fusibile-- Aumento della temperatura ° C / A
10- 333- 3.258258258
12- 235- 4.617021277
14- 166- 6.536144578
16- 117- 9.273504274
18- 82- 13.23170732
20- 58.6- 18.51535836
22- 41.5- 26.14457831
24- 29.2- 37.15753425
26-20.5- 52.92682927
28-14.5- 74.82758621
30-10.2- 106.372549
32- 7.3- 148.630137
34- 5.1- 212.745098
36- 3.62- 299.7237569
38- 2.59- 418.9189189
40- 1.77-612.9943503
Cavo libero in aria nuda.
Basato sulla temperatura di fusione del rame = 1085C
1085 / Temperatura di fusione = ° C / A Nota: isolamento in PVC comunemente valutato da 60 ° a 105 °

Capisco che la variabile mancante è la velocità di raffreddamento, ma ho solo bisogno di avere un'idea di quale sia la massima corrente sicura che può essere fatta passare attraverso un cavo di rame di un determinato spessore.

senza conoscere il tasso di raffreddamento, non c'è risposta alla tua domanda.

Qui sono al lavoro due cose:

1) riscaldamento: l'aumento della temperatura è proporzionale alla potenza dissipata, quindi proporzionale all'I ^ 2, e secondariamente alla resistenza, che è essa stessa una funzione della temperatura. entro un certo intervallo, potresti essere in grado di ignorare il 2o termine;

2) raffreddamento: è proporzionale alla temperatura ambientale, presupponendo un ambiente statico.

in equilibrio i due equilibri.

Quindi I ^ 2 = k (T-Tambient)

k sarebbe determinato dai fattori sopra menzionati.

Per mostrarti quanto sia importante il raffreddamento, questo approccio è esattamente quello che molti misuratori MAF usano per misurare il flusso d'aria nelle auto, dove T - Tambient viene rilevato attraverso la resistenza.

per il tuo scopo, tuttavia, ci sono molti tavoli da controllare invece di affrontare tutto questo dolore.

Come posso calcolare l'aumento di temperatura in un conduttore di rame?

Non Effettuare una configurazione di prova e misurare.

Perchè no? Leggi questo documento.

Se hai un forte desiderio di calcolare, quanto segue proviene da un articolo dell'Università imperiale di Hokkaido del 1930
intitolato: Aumento della temperatura di un conduttore dovuto alla corrente elettrica
Autori: Ikeda, Yoshiro; Estratto di Yoneta, katsuhiko
:

Il calore generato dalla corrente elettrica viene parzialmente dissipato nel mezzo circostante attraverso conduzione, convezione e radiazione e produce parzialmente un aumento di temperatura del conduttore. Tuttavia, è distruttivo per la maggior parte degli apparecchi o delle macchine elettriche avere una temperatura troppo elevata. Pertanto è importante conoscere la relazione tra l'intensità della corrente e la quantità dell'aumento della temperatura. Ora tratteremo i fenomeni nella più ampia gamma di applicazioni al fine di avere una forma esatta e semplice di soluzione.

Per i valori sconosciuti dovrai scaricare il documento perché ci sono 35 pagine di formule che precedono questa formula finale.

forma esatta e semplice di soluzione

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Per un'approssimazione

Sebbene questa sia una domanda di 7 anni, ho pensato di poter contribuire all'approccio che ho trovato ispirato da alcuni punti menzionati in una nota di applicazione di SIEMENS.

Approssimazione della temperatura allo stato stazionario di un conduttore

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+\Delta\Theta_{max}\left(\frac{I_{op}}{I_{max}}\right)^2$$

$$I_{max} :\text{maximum continuous current, } I_{op} :\text{operating current}$$ $$\Theta_{x} :\text{x temperature, }\Theta_{amb}:\text{ambient, }\Delta\Theta_{max}:\Theta\text{ rise @ }I_{max}$$

Maximum continuous operational current

Cables have specified current carrying capabilities for continuous operation. Different cable insulations allow for different maximum operational temperatures. These can be calculated following an IEC norm, but we can use either our specific cable datasheet or general ones to get a ball-park value.

• Specified here, 2 Single Core 2.5mm^2 PVC insulated cables have a current carrying capacity of 24 Amps (AC/DC) with the conductor operational temperature at 70ºC and an ambient temperature of 30ºC.

• Specified at a Nexans application note, 2 Single Core 2.5mm^2 XLPE insulated cables have a current carrying capacity of 24 Amps with the conductor operational temperature at 90ºC and an ambient temperature of 45ºC

From this data we can extract the following:

$$\text{PVC 2.5mm}^2@I_{max}=24A,\Delta\Theta_{max}=40^o\text{C, }\Theta_{op_{max}}\leq 70^oC$$ $$\text{XLPE 2.5mm}^2@I_{max}=24A,\Delta\Theta_{max}=45^o\text{C, }\Theta_{op_{max}}\leq 90^oC$$

If we assume that your cable is XLPE and in the air with a maximum ambient temperature of 25ºC:

$$\Theta_{op}=25+45\cdot\left(\frac{30}{24}\right)^2\approx 95.3^oC$$ This is above the maximum operational temperature of the XLPE insulated cable. If it is the PVC insulated one, the calculation results in >87ºC, where the insulation will probably melt. PVC at temperatures above 60ºC becomes unstable.

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Comparison to deratings ( correction factors )

If we compare the use of this formula to the deratings we can see a certain coherence;

The Application note states that for other ambient air temperatures, correction factors have to be applied for the max current capabilities:

|Amb ºC| 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|Factor|1.10|1.05|1.00|0.94|0.88|0.82|0.74|0.67|0.58|0.47|

I understand that the objective is to keep the core temp below 90ºC, by limiting the max current.

Spawning from the same cable (2 Single Core 2.5mm^2 XLPE insulated cables) example the max ratings would be as follows:

|Amb ºC| 35 | 40 | 45 | 50  | 55  | 60  | 65  | 70  | 75  | 80  |
|MaxAmp|26.4|25.2|24.0|22.56|21.12|19.68|17.76|16.08|13.92|11.28|

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+45\cdot\left(\frac{I_{op}}{24}\right)^2\approx \text{steady state temp in }^oC$$

The following estimated steady state temperatures are as follows

|Amb ºC| 35  | 40  | 45  | 50  | 55  | 60  | 65  | 70  | 75  | 80  |
| Amps |26.4 |25.2 |24.0 |22.56|21.12|19.68|17.76|16.08|13.92|11.28|
|ssTemp|89.45|89.61|90.00|89.76|89.85|90.26|89.64|90.20|90.14|89.94|

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Time required to reach steady state temperature

How long it will take to reach this temperature can be estimated by considering the short-circuit current rating of the cable. Looking it up in the tables, 2.5mm^2 @ 1second short = 358 Amps.

The heating transition of the cable follows approximately the following equation:

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+\Delta\Theta_{ss-amb}\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$$

$$\tau\text{(min)}=\frac{1}{60}\cdot\left|\frac{I_{1s-short}}{I_{max}}\right|^2=\frac{1}{60}\cdot\left|\frac{358}{24}\right|^2\approx 3.7\text{min}$$

\tau defines the time it requires to reach 63% of the final temperature. Normally we estimate that at 5*\tau we are at around 99% of the final temperature. 5*3.7 min = 18.5 minutes.

$$\tau \text{ is valid for reaching any calculated steady state conditions}$$

$$\text{Time to reach any steady state temperature} \approx 5\cdot\tau \approx 18.5\text{min}$$

$$\Delta\Theta_{ss-amb} = \Theta_{steady state}-\Theta_{amb}$$

If we plot this it looks as follows:

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ballpark/estimated demonstration

Our calculated \tau was with values: Ambient temperature 45ºC, operating temperature = 90ºC. \Delta T = 45ºC. I_max = 24 Amps

Power dissipation follows a square rule, P=I^2*R , we could extrapolate that to say that rate of temperature rise follows a similar square rule.

$$K_{\tau}\approx\left(\frac{I_{ref}}{I_{op}}\right)^2 = \left(\frac{24}{30}\right)^2 = 0.64$$

but our calculated \Delta T (temperature rise) is of 70ºC versus 45ºC.

$$K_{\Delta\Theta}\approx\frac{\Delta\Theta_{op}}{\Delta\Theta_{ref}} = \frac{70}{45} \approx 1.5556$$

applying these to our \tau as follows would give us

$$\tau_{op}=\tau_{ref}\cdot K_{\tau} \cdot K_{\Delta\Theta}=3.7\cdot 0.64\cdot 1.5556=3.68 \leadsto 5\tau = 18.4\text{ min}$$

Note that these formulas for the demo of a modified \tau was invented out of "thin air", by "feeling", by some "logical" considerations. This may be completely wrong, and if I have made an assumption that is "crazy" please do let me know so I can learn my mistake. Someday I will make some measurements to test this out.

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Resources

• Thermal Overload Protection of Cables
  • Page 47 in Siemens PTD EA - Applications for SIPROTEC Protection Relays 2005
• Mega Kabel resource A,B, C
• MyElectrical Notes on IEC60287
• Nexans Technical infosheet