Prova che ogni circuito con diodi ha esattamente una soluzione

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Considera un circuito elettronico costituito da componenti lineari più un numero di diodi ideali. Con "ideale" intendo che possono essere polarizzati in avanti (cioè e ) o polarizzati al contrario (cioè e ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Questi circuiti possono essere calcolati dichiarando arbitrariamente ciascun diodo polarizzato in avanti o polarizzato al contrario e impostando per ogni diodo polarizzato in avanti e per ogni diodo polarizzato al contrario. Dopo che il circuito lineare risultante è stato calcolato, dobbiamo verificare se ad ogni diodo polarizzato in avanti e ad ogni diodo polarizzato inverso è soddisfatto. Se sì, questa è la nostra soluzione. In caso contrario, dobbiamo provare un'altra serie di scelte per i diodi. Quindi, per diodi, possiamo calcolare il circuito calcolando al massimo circuiti lineari (di solito molto meno). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Perché funziona? In altre parole, perché c'è sempre una scelta che porta a una soluzione valida e (cosa più interessante) perché non ci sono mai due scelte che portano entrambe a soluzioni valide?

Dovrebbe essere possibile dimostrarlo allo stesso livello di rigore con cui, ad esempio, il teorema di Thevenin è dimostrato nei libri di testo.

Un collegamento a una prova in letteratura sarebbe anche una risposta accettabile.

circuit-analysis diodes

— Stefan
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Perché un circuito fisico può essere in un solo stato alla volta. Non è la meccanica quantistica ...

— Eugene Sh.

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@EugeneSh .: È vero, ma non è quello che l'OP chiede. Alcuni circuiti possono trovarsi in uno qualsiasi di diversi stati dati identiche condizioni esterne. La domanda è dimostrare che esiste un solo stato per la classe di circuiti che l'OP sta descrivendo.

— Dave Tweed,

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@Eugene Sh .: ad esempio un flip flop (o qualsiasi circuito bi-stabile) è un controesempio di un circuito che ha più di una soluzione. Se non viene fornita alcuna "stessa condizione iniziale", devi assumere qualsiasi condizione e osservare quali soluzioni stabili sono disponibili e poi scopri che alcuni circuiti ne hanno solo uno indipendentemente dalle condizioni iniziali (ad esempio circuiti lineari) e altri ne hanno più di uno .

— Cagliata il

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@EugeneSh. Il punto qui è dimostrare che il comportamento dello stato stazionario del circuito a diodi non dipende dalle condizioni iniziali, esiste solo una soluzione stabile. A differenza di un flip-flop, che ha più soluzioni stabili e può essere usato come elemento di memoria (le "condizioni iniziali" sono una scrittura in memoria).

— Evan,

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@EugeneSh. Il punto non è che un circuito non lineare possa trovarsi in uno stato ben definito date le condizioni iniziali, ma esattamente il contrario. Il teorema a cui si riferisce l'OP garantisce che esiste una sola soluzione indipendentemente dalle condizioni iniziali , che è piuttosto peculiare per un circuito non lineare.

— Lorenzo Donati - Codidact.org il

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Suppongo che questo sia per un problema forzato in cui esiste un circuito con passivi noti e alcuni dati di I e V e punti contrassegnati per diodi di direzione sconosciuta. La mia risposta è:

Speriamo che i creatori dei problemi si siano limitati a casi in cui i loro presupposti portano alle loro conclusioni.

Potrebbe essere teoricamente irrisolvibile avendo un diodo estraneo; considerare la messa a terra di entrambi i lati di un diodo. Potrebbero esserci casi non banali che utilizzano terreni virtuali o altre tensioni uguali che potrebbero essere difficili da individuare.

Potrebbero sicuramente esistere circuiti validi che differiscono solo per la direzione di un diodo per qualsiasi valore di "circuito valido" che include diodi. Prendi in considerazione la modellazione di switch utilizzando quelle regole ideali per i diodi, come puoi decidere se uno switch doveva essere acceso o spento? Si spera che le correnti e le tensioni indicate forniscano abbastanza suggerimenti. E speriamo che non ti abbiano dato suggerimenti contrastanti.

Questo sposta la domanda su "Come puoi sapere se un'istanza ha abbastanza informazioni per essere unica?" Ricordo che la risposta è qualcosa di simile a quello che hai bisogno di un dato indipendente per ogni sconosciuto indipendente, ma sono sicuro di non poterlo provare o di presentare un test generale per l'indipendenza di entrambi.

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Per diodi ideali, ci possono essere più soluzioni.

Controesempio fondamentale: prendi qualsiasi circuito contenente diodi ideali che hai risolto. Sostituire ora uno dei diodi ideali con, se in direzione diretta, una coppia di diodi collegati in parallelo, o se polarizzati al contrario, una coppia in serie, mantenendo l'orientamento in entrambi i casi. Come risolvi la distribuzione di corrente o tensione tra i due? Non è possibile, il modello di diodo ideale porta a uno scafo convesso di soluzioni ugualmente valide.

— Ben Voigt
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Stai davvero allungando la definizione di "circuito" qui. Due diodi ideali polarizzati in senso inverso in serie creano un nodo isoated tra loro e due diodi ideali polarizzati in avanti in parallelo creano un circuito isolato. Questo non è utile nel contesto della domanda.

— Dave Tweed,

@DaveTweed: in che modo la post-modifica del circuito è meno un circuito di quanto non fosse prima della modifica?

— Ben Voigt,

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Non lo è, ma la modifica non crea una distinzione utile. Se due diodi ideali uniscono una coppia di nodi di circuito, l'unica cosa che conta è la tensione totale o la corrente totale tra quei nodi; la distribuzione della tensione o della corrente tra i diodi singolarmente non ha alcuna conseguenza. E lanciare in un termine irrilevante come "scafo convesso" è solo pura tecnobambia.

— Dave Tweed,

Questo è molto utile, in quanto dimostra che non vi è alcuna speranza di una prova di unicità senza ulteriori ipotesi. Naturalmente la domanda successiva è se è sufficiente escludere due diodi di fila e due diodi in parallelo, o se ci sono controesempi di maggiore complessità.

— Stefan,

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Non ho una prova rigorosa, ma l'idea generale è che finché i componenti di un circuito hanno curve VI che sono funzioni a valore singolo (questo include diodi e componenti lineari), ci può essere solo una soluzione per il circuito in generale.

— Dave Tweed
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Tipo di induzione su una sovrapposizione. Il caso base sarebbe un circuito a singolo diodo, che è facile da mostrare con un'unica soluzione. Quindi la fase di induzione per mostrare la combinazione dei circuiti di base ha un'unica soluzione.

— Eugene Sh.

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Tuttavia, il diodo ideale discusso nell'equazione non ha una curva IV a valore singolo.

— Ben Voigt,

@BenVoigt: quando hai a che fare con componenti ideali e zeri e infiniti associati, devi stare attento. Il concetto di limite è cruciale: la resistenza in avanti è infinitesimale ma non zero, e anche la conduttanza inversa è infinitesimale ma non zero. Se considerata in questo modo, l'equazione è davvero a valore singolo.

— Dave Tweed,

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Penso che sia abbastanza semplice:

puoi trattare i diodi ideali polarizzati in avanti come cortocircuiti e i diodi ideali polarizzati invertiti come circuiti aperti. Quindi in ogni caso ottieni circuiti con solo componenti lineari (perché tutti i diodi si risolvono in circuiti aperti o in cortocircuiti) e quei circuiti lineari sono noti per avere esattamente una soluzione.

— Cagliata
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Ognuno di questi circuiti avrà una soluzione: come puoi dimostrare che solo uno è autoconsistente?

— Ben Voigt,

@Ben Voigt: ok, ho capito. Ciò non è ancora provato (e probabilmente è il lavoro principale)

— Curd,

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Dalla voce delle righe di carico di Wikipedia

Esiste un'unica soluzione unica a causa della natura del problema. Questo è meglio illustrato graficamente, sotto forma di linee di carico. Il diodo ha un'equazione che descrive la relazione tra la corrente attraverso di essa (asse y) e la tensione attraverso di essa (asse x). Qui, l'asse x è la tensione attraverso il diodo.

Guarda cosa succede alla corrente attraverso il resistore mentre la tensione attraverso il diodo cambia. Se la tensione è Vdd attraverso il diodo, allora non ci sarebbe alcuna caduta di tensione attraverso il resistore, poiché la tensione tra il resistore e il diodo deve sommarsi a Vdd), e quindi ci sarebbe corrente zero attraverso il resistore (Legge di Ohm). Allo stesso modo, se ci fosse una caduta di tensione zero attraverso il diodo, ci sarebbe Vdd attraverso il resistore e la corrente attraverso il resistore sarebbe Vdd / R.

Ora, sappiamo che si tratta di situazioni non realistiche, poiché la corrente nel diodo e nella resistenza deve essere uguale. Data l'equazione per il resistore (lineare) e l'equazione per il diodo (non lineare, ma in aumento monotonico), possiamo vedere sul grafico che ciò può avvenire solo in un unico punto, l'intersezione delle due curve.

Pertanto, la soluzione simultanea di tre equazioni (la resistenza, il diodo e il fatto che le due correnti devono essere uguali) danno una soluzione unica.

Questo metodo funzionerà per tutti gli elementi del circuito.

È un po 'diverso per i diodi a corrente inversa, poiché la corrente del resistore va dall'altra parte e è necessario aggiungere un quadrante al grafico.

— Scott Seidman
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La curva IV del diodo che mostri non è la curva IV di un diodo ideale .

— Cagliata il

@Curd: data la mancanza di fattori di scala, è abbastanza vicino. Vedi il mio commento a Ben Voigt.

— Dave Tweed,

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Questa è una buona spiegazione per il caso con un diodo, ma il mio vero problema è il caso con diversi diodi.

— Stefan,

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La "prova" di questo avrebbe funzionato solo per alcuni circuiti. Se hai qualche guadagno e gli unici elementi non lineari sono i diodi stessi puoi avere più stati possibili. Ad esempio (potrebbe non essere l'esempio più semplice possibile).

Questo circuito funzionerà con un op-amp perfettamente lineare ideale e l'uscita non si spegne mai all'infinito o saturi, ma con 0 V può essere circa +6 o circa -6 all'uscita, con una coppia o l'altra di diodi che conducono . Funzionerà anche con diodi "quasi ideali" che hanno una caduta in avanti quando sono accesi e non altre nonideality.

schematico

(e ovviamente i diodi tunnel sono un caso speciale con la loro curva IV non monotonica).

La prova dovrebbe probabilmente richiedere solo elementi passivi come resistori (nessuna fonte di corrente o tensione dipendente). O forse solo con diodi ideali con 0 V Vf.

— Spehro Pefhany
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Non è chiaro che la classe di circuiti di cui stiamo parlando esclude qualcosa con guadagno, come qualsiasi dispositivo a 3 terminali o dispositivi a resistenza negativa?

— Dave Tweed,

@DaveTweed No non lo è. La domanda originale dice "componenti lineari" che non è abbastanza restrittivo, almeno per i diodi con caduta in avanti. Le tipiche domande da manuale hanno solo fonti e resistori indipendenti di tensione e corrente e diodi ideali o piuttosto ideali. I circuiti reali e utili di solito coinvolgono amplificatori operazionali, IME.

— Spehro Pefhany,

Intendevo ciò che descrivi come tipiche domande da manuale.

— Stefan,

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Hai ragione, la domanda dovrebbe dire "passivo" se significa escludere elementi attivi-ma-lineari.

— Ben Voigt,

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Questa non è una prova completa, ma forse ti porterà in pista:

Se esistono più soluzioni, esiste almeno un diodo che può essere polarizzato in avanti o indietro. Considera uno di questi diodi. In una data soluzione, è orientata in avanti o indietro. Definiamo le tensioni ai suoi terminali, Va e Vb, in modo tale che se è polarizzato in avanti, Va> = Vb, e se è polarizzato al contrario, Vb> = Va. Nel caso in avanti o polarizzato al contrario, il resto del circuito (RotC) produce queste tensioni ai terminali del diodo.

Dato che hai affermato che il circuito è costituito da elementi lineari e diodi, il RotC è una rete puramente lineare o include più diodi.

Se il RotC è una rete puramente lineare, ha solo una soluzione e l'unica soluzione ai vincoli Va> = Vb e Vb> = Va è quella Va = Vb.

Se il RotC include più diodi con più possibili soluzioni, prendere in considerazione il diodo successivo. Ancora una volta, è collegato a una rete lineare o a una rete con più diodi con molteplici possibili soluzioni.

Se assumiamo che ci sia un numero finito di diodi nel circuito ...

— PProteus
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