Qual è il guadagno del rumore, davvero? E come viene determinato nel caso generale?

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AGGIORNAMENTO : Questa domanda ha innescato quella che potrebbe essere definita un'ossessione per la ricerca per me. Mi sono avvicinato abbastanza in fondo, penso di aver pubblicato i miei risultati come una risposta qui sotto.

C'era una domanda simile qui, ma non ha chiesto né ricevuto un resoconto generale nelle sue risposte.

Il guadagno di rumore risulta essere un concetto menzionato di rado e apparentemente mal compreso che viene riscattato dal fatto che fornisce la potenza per regolare in modo flessibile la stabilità del circuito operazionale se si sa come usarlo.

Proprio quando pensavi che ci fosse un'equazione su cui puoi assolutamente contare, l'equazione del guadagno noto per gli amplificatori operazionali risulta essere dipendente dalla situazione.

sol = \frac{{UN}_{o}}{1 + {UN}_{o} β}

$G = \frac{A_o}{1 + A_o\beta}$

Si scopre, dipende da quale definizione di $\beta$ usi.

La parte non risolutiva (sfondo)

Inizierò con una breve spiegazione di ciò che so e posso dimostrare di essere vero, solo così puoi dire che ho fatto i miei compiti e scoraggiare le risposte affrettate:

$\beta$ nota comefrazione di retroazione, (a voltefattore di retroazione), ed è la proporzione della tensione di uscita ricondotta all'ingresso invertente.

Considerando non invertente dell'amplificatore al di sotto, la frazione di $V_{out}$ che raggiunge l'ingresso invertente è facilmente determinata per essere $1/10$ mediante ispezione del partitore di tensione:

V_{-} = V_{o u t} \frac{R_{g}}{R_{f} + R_{g}}

$V_- = V_{out} \frac{R_g}{R_f + R_g}$

β = \frac{V_{-}}{V_{o u t}} = \frac{R_{g}}{R_{f} + R_{g}} = \frac{10 K}{90 K + 10 K} = \frac{1}{10}

$\beta = \frac{V_-}{V_{out}} = \frac{R_g}{R_f + R_g} = \frac{10\mathrm{k}}{90\mathrm{k} + 10\mathrm{k}} = \frac{1}{10}$

Tornando alla formula con cui abbiamo iniziato, sta per guadagno ad anello aperto, in questo caso circa 100.000. Sostituendo nella formula, il guadagno è: $A_o$

sol = \frac{{UN}_{o}}{1 + {UN}_{o} β} = \frac{100, 000}{1 + (100, 000 \cdot \frac{1}{10})} = \frac{100, 000}{10, 001} = 9.999

$G = \frac{A_o}{1 + A_o\beta} = \frac{100,000}{1 + (100,000\cdot \frac{1}{10})} = \frac{100,000}{10,001} = 9.999$

Il che è terribilmente dannatamente vicino a , motivo per cui di solito lasciamo cadere bit e diciamo semplicemente . Questo è ciò che prevede una simulazione ed è molto vicino a ciò che si osserva in panchina. Fin qui tutto bene. $10$ $1 +$ $G = 1/\beta$

svolge anche un ruolo nella risposta in frequenza. $\beta$

La traccia gialla è il guadagno ad anello aperto ( , quello viola è l'anello chiuso (CL) guadagno del segnale ( ). $V_{out}/(V_+ - V_-)$ $V_{out}/V_{sig}$

È difficile da vedere senza espandere l'immagine, ma il guadagno ad anello aperto attraversa 0 dB a 4,51 MHz; il downpoint 3dB sul guadagno ad anello chiuso è 479 kHz, quindi circa un decennio sotto. Il guadagno ad anello chiuso "consuma" il guadagno ad anello aperto per aumentare il segnale. Quando il guadagno ad anello aperto non è sufficiente per farlo, il guadagno ad anello chiuso diminuisce e raggiunge il suo punto negativo di 3dB, in questo caso in cui il guadagno ad anello aperto è 10 (20dB). Poiché scende a 20 dB / decennio, questo è un decennio sotto il punto 0 dB di . $A_o$ $A_o$

Quindi in questo caso:

{B W}_{C L} = β \cdot {B W}_{O L} = 0.1 \cdot 4.51 M H z \approx 479 k H z

${BW}_{CL} = \beta \cdot {BW}_{OL} = 0.1 \cdot 4.51 \mathrm{MHz} \approx 479 \mathrm{kHz}$

La parte sorprendente

Ok, quindi forse ho sbagliato? Tutto sembra funzionare bene. Hmm, cosa succede se facciamo un po 'di modifiche al circuito. Facciamo un salto in questo resistore dall'aspetto innocente : $R_n$

E dai di nuovo un'occhiata al guadagno sulla frequenza:

Whoa! Cosa succede con quello?

Il guadagno del segnale ad anello chiuso (traccia viola) è ancora 10 (20 dB)
ma la sua larghezza di banda è ridotta di un ulteriore decennio, fino a 43,6 kHz!
C'è una traccia ciano che si imbatte in nel modo giusto, ma è a 40 dB $A_o$

Quello che ho elaborato finora

Durante il fine settimana stavo studiando l'eccellente libro Op Amp Applications di Walter Jung . Nel primo capitolo introduce la nozione di guadagno del rumore , che deve essere attentamente distinta dal guadagno del segnale . Questo sembrava abbastanza semplice al momento come ha definito il rumore di guadagno semplicemente come e ha suggerito la notazione . $1/\beta$ $NG$

Per il primo amplificatore non invertente sopra, il guadagno del rumore è uguale al guadagno del segnale , motivo per cui uno incontra così raramente la distinzione. $(G)$

Tuttavia, ho raccolto una varietà di factoidi da varie fonti:

La traccia ciano sopra è il guadagno del rumore (in realtà, è solo dove sarebbe se fossi in grado di tracciarlo con SPICE). Sono stato in grado di trovare una manciata di riferimenti dopo ampie ricerche online, ma nessuna descrizione di come determinarlo quando non è uguale al guadagno del segnale. Nel secondo circuito sopra, il valore è:

$\frac{R_{f}}{R_{g} ∥ R_{n}}$ $\frac{R_f}{R_g\parallel R_n}$
Il guadagno di rumore è ciò che determina effettivamente la risposta in frequenza, non il guadagno del segnale. Il guadagno di rumore è ciò che SPICE (e il tuo circuito) usano per determinare la risposta in frequenza su un'analisi CA.
$A_o\beta$ $\beta$
Come dimostrato sopra, il guadagno del rumore può essere manipolato senza modificare il guadagno del segnale. Questo risulta essere un modo molto potente per sintonizzare la larghezza di banda di un amplificatore per ottenere solo il margine di fase desiderato senza spostarsi con il guadagno del segnale di cui il circuito ha bisogno.
La terminologia è un po 'irritata, ma questa nota app di AD mi sembra più chiara dicendo che c'è un guadagno ad anello aperto e un guadagno ad anello chiuso, ma ci sono due tipi di guadagno ad anello chiuso, guadagno di segnale e rumore.

Alcune cose che ho dedotto provvisoriamente

Nota: questa ipotesi risulta essere falsa. Un amplificatore operazionale è un amplificatore in corrente continua , quindi è essenziale che le caratteristiche del circuito (incluso il guadagno del rumore) possano essere misurate in corrente continua, per cui risulta essere la stessa delle basse frequenze.

~~Ipotesi: il guadagno del segnale è determinato dall'analisi CC. Il guadagno di rumore è determinato dall'analisi CA.~~ Sospetto che questa non sia l'intera storia ed è una delle mie domande principali di seguito. Ma sembra produrre il giusto valore per il guadagno di rumore nei casi che ho provato finora se si cortocircuitano le fonti di tensione indipendenti e quindi si studia la funzione di trasferimento del guadagno di tensione della rete di feedback. Ciò implicherebbe che:

β_{n o io S e} = \frac{Δ v_{-}}{Δ v_{o u t}}

$\beta_{noise} = \frac{\Delta v_-}{\Delta v_{out}}$

Perché questo è davvero utile

$R_n$

Domande a cui risponderebbe un account completo e generale

Non cerco risposte individuali alle seguenti domande. Quello che sto cercando è la spiegazione del guadagno di rumore che mi consentirebbe di rispondere prontamente a queste domande da solo. Pensa a queste come alla "suite di test" per la risposta :)

Come può l'amplificatore operazionale avere due frazioni di feedback distinte? Dal momento che il guadagno del segnale può essere calcolato in DC e il guadagno del rumore sembra essere in AC, forse potremmo considerare uno di questi la frazione di feedback DC e la seconda la frazione di feedback AC?
Se il rumore beta è la frazione di feedback AC, perché la frazione di feedback DC determina il guadagno del segnale? Il segnale è AC, quindi non vedo come verrebbe trattato diversamente.

Quindi la mia vera domanda è:

Che cos'è veramente il guadagno del rumore ?
Come e perché è diverso dal guadagno del segnale, nel senso di "perché ce ne sono due e non uno"? , e
Come si determina il guadagno del rumore tramite l'analisi del circuito nel caso generale? (ovvero quale modello equivalente viene utilizzato.)
Punti bonus se ti capita di sapere come tracciarlo in SPICE :)

— Scanny
fonte

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Domanda interessante. Non vedo l'ora di vedere cosa hanno da dire le persone veramente competenti.

— JRE,

La traccia ciano = 10 * Vout quindi è irrilevante. Questa domanda è fin troppo lunga e ti manca il punto. L'aumento del rumore non ha nulla a che fare con ciò che stai mostrando.

— Andy aka

1 + \frac{R_{f}}{R_{g} ∥ R_{n}} = 1 + \frac{90 K}{10 K ∥ 1 K} \approx 100 = 40 d B

$1 + \frac{R_f}{R_g \parallel R_n} = 1 + \frac{90k}{10k \parallel 1k} \approx 100 = 40dB$

ma questo è il mio punto. Disegnandolo come dieci volte Vout è una cosa totalmente assurda da fare. Abbassò la domanda del tour verso la grondaia. È necessaria la redenzione!

— Andy aka

Questo può essere utile: analog.com/library/analogDialogue/archives/43-09/…

— Peter Smith

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Ok, dopo molte più ricerche, penso di essere arrivato al fondo di questo. In realtà sono certo che si sta avvicinando solo al fondo, poiché ho trovato questo argomento abbastanza profondo, ma penso di essermi avvicinato abbastanza da far luce.

Un malinteso di base

Un punto di svolta nella mia comprensione è stato quando mi sono reso conto che l'equazione con cui ho guidato nell'OP:

sol = \frac{{UN}_{o}}{1 + {UN}_{o} β}

$G = \frac{A_o}{1 + A_o\beta}$

è un'equazione del diagramma a blocchi , non un'equazione del circuito . Queste sono due cose diverse e la traduzione tra l'una e l'altra spesso non è banale. Il fatto che la traduzione sia banale per il semplice caso di amplificatore operazionale non invertente è forse una trappola per gli incauti, sicuramente uno che mi è caduto in testa prima :)

Vedremo perché questo conta a breve.

Qual è il guadagno del rumore , davvero?

Il guadagno di rumore (in un circuito di amplificazione operazionale) è il guadagno sperimentato da un piccolo segnale applicato all'ingresso non invertente (+).

Viene chiamato così perché il rumore viene spesso definito come "riferito all'ingresso", ovvero il segnale di rumore che dovrebbe essere presente all'ingresso per produrre un'uscita di rumore specifica. Ciò consente di "raggruppare" il rumore originato in varie parti dell'amplificatore operazionale in un unico valore equivalente, semplificando qualsiasi analisi a cui non importa davvero da dove provenga il rumore all'interno della scatola nera.

In un semplice amplificatore senza inversione, il guadagno del rumore è uguale al guadagno del segnale:

Ciò ha senso se si considera che il segnale viene applicato direttamente all'ingresso non invertente e che una piccola tensione differenziale applicata a quel nodo sperimenterebbe esattamente lo stesso guadagno del segnale.

$\beta$

$+$

N sol = \frac{{UN}_{o}}{1 + {UN}_{o} β}

$NG = \frac{A_o}{1 + A_o\beta}$

$1/\beta$ $1/\beta$ $A_o\beta \gg 1$

$\beta$

Considera il circuito di amplificazione invertito di seguito:

Lo schema a blocchi per questo circuito risulta essere questo:

$R_f$ $V_e$ $V_- - V_+$ $A_o$ $\beta$

Ci sono un paio di cose interessanti che possiamo vedere:

$v_{in}$ $T_i$ $T_i$
$\beta$
$R_f$ $R_{in}$ $\beta$ $T_i$

Quindi cos'è "forzare il guadagno del rumore" e perché funziona?

Sono entrato in questa domanda sul guadagno di rumore perseguendo un interesse per la stabilità / compensazione dell'amplificatore operazionale, non per il rumore. Ho trovato un paio di riferimenti che affermavano (parafrasato) "... forzare il guadagno del rumore è una potente tecnica di compensazione che molti ingegneri analogici non conoscono ...". La mia reazione è stata: "Hmm, sembra interessante! Adoro le arti nere analogiche! Che cosa guadagna il rumore? E come posso costringerlo a fare qualcosa che non vuole?"

$A_o \beta$ $\beta$

Come promemoria, ecco come appare il circuito "guadagno del rumore forzato" dall'alto, applicato a un amplificatore senza inversione:

Se facciamo la stessa analisi equivalente di Thevenin per isolare il feedback e i blocchi di input, finiamo con uno schema a blocchi che assomiglia a questo:

Possiamo osservare alcuni punti interessanti:

$T_f$
$T_i$ $T_f$
$T_i$ $T_f$ $V_{out}/V_{in}$

Abbracciando il diagramma equivalente che ciò ci dà, vediamo che la riduzione desiderata del guadagno del loop può essere ottenuta attenuando il guadagno dell'amplificatore principale, senza produrre una variazione del guadagno complessivo del segnale (a basse frequenze).

C'è uno sviluppo video davvero eccellente di questo da parte del defunto professor James Roberge del MIT (a partire da circa 35:17). Ho finito per guardare le 20 serie di lezioni (la maggior parte due volte :) e lo consiglio vivamente :)

Ho anche scoperto come tracciare direttamente il guadagno di rumore in LTspice, l'ho pubblicato come domanda di follow-up se desideri dare un'occhiata: Come posso tracciare il guadagno di rumore di un circuito di amplificatore operazionale in SPICE? .

— Scanny
fonte

Scanny, penso che tu abbia fornito una derivazione piuttosto completa, esatta e illustrativa. Con questo commento mi piace ricordare che fornire un resistore Rn - o una connessione in serie di un Cn e Rn adatti - tra entrambi i terminali di ingresso opamp è uno dei metodi classici per la compensazione della frequenza esterna (migliorando il margine di stabilità). Questo funziona perché il guadagno del loop è ridotto. Oltre a ciò, il guadagno del segnale non sarà influenzato perché - come hai anche dimostrato - lo "smorzamento in avanti" è influenzato dallo stesso fattore. Tuttavia, anche la larghezza di banda del segnale viene ridotta di conseguenza.

— LvW

Un'altra domanda solida e un'altra risposta solida. Fantastico. Hai un link a "... forzare il guadagno del rumore è una potente tecnica di compensazione che molti ingegneri analogici non conoscono ..."? Sembra che valga la pena leggere.

— efox29

@ efox29: ecco un paio di quelli a cui mi riferivo :) link 1 , link 2 .

— Scanny

Domanda di follow-up: quale sarebbe quindi il guadagno di rumore di un semplice follower? Semplicemente 1? E come viene trattato il rumore per un follower?

— Irenaius,

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$G_N$ $1\ +\ \frac {R_F} {R_{IN}}$ $AV_{OL}$ $A_{CL}$ $R_{IN}$ $R_G$ $R_N$

Il guadagno del rumore viene utilizzato per criteri di stabilità, non per il guadagno del segnale.

Ecco una piccola grafica utile:

Se l'amplificatore ha un guadagno ad anello aperto molto elevato, allora il guadagno ad anello chiuso è il guadagno di rumore.

Il tuo circuito sopra è uguale al circuito C.

Come hai scoperto, variando $R_{IN}$

Definizione del guadagno ad anello chiuso dell'amplificatore:

[Aggiornare]

In risposta ai commenti:

Il guadagno di rumore dell'amplificatore non è un caso speciale; è sempre il guadagno non invertente dell'amplificatore e alla fine imposta il guadagno ad anello chiuso dell'amplificatore.

$1\ + \frac {R_F} {R_{IN}}$ $\frac {R_F} {R_G}$ .

$R_{IN}$ è sempre l'impedenza di ingresso vista dall'ingresso invertente su CA (quindi in questo caso si tratta di ingressi in cortocircuito).

$R_{IN}$ a terra ai fini dell'analisi; prova ad aggiungere un'impedenza di sorgente per vedere perché questo potrebbe cambiare le cose.

Materiale sorgente .

— Peter Smith
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1 + \frac{R_{F}}{R_{I N}}

$1\ +\ \frac {R_F} {R_{IN}}$

R_{I N}

$R_{IN}$

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Il guadagno di rumore è il modo in cui il rumore (interno all'ingresso di un amplificatore operazionale) viene amplificato dai resistori di retroazione IN CONGIUNZIONE CON (molto importante) la capacità "invisibile" dall'ingresso invertente a terra, ovvero la capacità parassita degli ingressi. Considera l'amplificatore standard non invertente: -

$V_{IN}\times 1 + \dfrac{R2}{R1}$

I due componenti aggiunti sono la capacità di dispersione dell'ingresso invertente e la sorgente di rumore interna all'interno di ogni ingresso dell'amplificatore operazionale.

Dal punto di vista del rumore (e del segnale), il guadagno viene aumentato dal condensatore aggiunto attraverso R1. R1 è deviato (alle alte frequenze) dalla reattanza del condensatore. Ciò significa che aumenta sia il guadagno del segnale sia l'amplificazione del rumore (per così dire).

Quindi, la parte finale di questa storia è una trama di base: -

Da DC verso l'alto, l'amplificazione è determinata dal guadagno convenzionale, cioè 1 + R2 / R1, quindi, ad un certo punto, C1 inizia a deviare progressivamente R1 e il guadagno aumenta con la frequenza. Questo guadagno in aumento continua fino a quando non incontra la risposta ad anello aperto, quindi cade naturalmente quando diminuisce il guadagno ad anello aperto.

Questo è il guadagno del rumore quando applicato a un circuito op-amp non invertente.

— Andy aka
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Sono stato piuttosto confuso con tutte le istruzioni che ho letto, dal momento che si applicano solo a determinati tipi di circuiti.

Penso che questo sia il modo più semplice per capirlo e funziona in tutti gli scenari:

Sostituisci le tue fonti con cortocircuiti o circuiti aperti, seguendo il teorema di sovrapposizione
Scollegare l'ingresso non invertente dell'amplificatore operazionale e inserire una sorgente di tensione di rumore in serie con esso.
Il guadagno di rumore è il guadagno dalla sorgente di tensione del rumore all'uscita.

Quindi per questo circuito:

Il guadagno del segnale è 10/2 = 5 × ≈ +14 dB
R _eq = 1 kΩ || 2 kΩ || 10 kΩ = 625 Ω

Modificalo su questo circuito:

Il guadagno del rumore è 10 / (2 || 1) = 15 × ≈ +24 dB

Esempi:

Rumore dai filtri attivi: una sorpresa sgradita
Il rumore dell'amplificatore operativo di Art Kay lo spiega bene

— endolith
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Il termine "guadagno di rumore" deriva dalla convenzione di riferire il rumore equivalente degli interni di un amplificatore operazionale al terminale non invertente. Quindi, ad esempio, il rumore di tensione nell'amplificatore operazionale viene trasformato in una sorgente di tensione equivalente in serie con il terminale non invertente, in volt per radice-hertz. Ciò consente di calcolare il rumore di uscita moltiplicando per il guadagno non invertito, calcolando la larghezza di banda.

Quando si calcola la larghezza di banda di un amplificatore con un polo dominante, è necessario utilizzare anche il "guadagno del rumore" o il guadagno visto dall'ingresso non invertente. In questo modo, la larghezza di banda è semplicemente il prodotto GBW rispetto al guadagno di rumore.

Questo è fondamentalmente- Il guadagno di rumore è il guadagno dal terminale non invertente. In un amplificatore invertente il guadagno del segnale è diverso, ma la larghezza di banda e il rumore verrebbero calcolati con il guadagno non invertente dal terminale + all'uscita.

— Giovanni D.
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In che modo ciò spiegherebbe la differenza tra guadagno di rumore e guadagno di segnale nel secondo circuito? Il segnale viene applicato al terminale non invertente e vede un guadagno di 10 (guadagno del segnale), non di 20 (guadagno del rumore).

— Scanny

Non vedo alcuna differenza. Perché pensi che il guadagno del rumore sia 20? Il guadagno del segnale è 10, il guadagno del rumore è 10, giusto? Se fosse un amplificatore invertito, il segnale e il guadagno del rumore sarebbero diversi.

— John D,

Il guadagno di rumore in quel circuito è di 40 dB (100), (scusate, non 20, ho mischiato i miei dB :) Ma non è sicuramente 10. Ecco perché la larghezza di banda è ridotta di 2 decenni invece di 1. È il fatto che segnale e rumore il guadagno non è lo stesso in quel circuito che originariamente ha dato origine alla mia domanda :) (È anche ciò che lo rende interessante dal punto di vista del design.)

— scanny

Questo è interessante: per un amplificatore operazionale ideale il tuo Rn non fa nulla e il guadagno del rumore è lo stesso del guadagno del segnale, giusto? (zero volt tra + e - ingressi). Per un vero op-amp ci sarà qualche effetto dovuto all'aggiunta di una resistenza tra i terminali + e -, garantito, ma intuitivamente non sembra che potrebbe cambiare il guadagno dal terminale non invertente di un ordine di grandezza. Come hai ottenuto la traccia ciano che mostra il guadagno del rumore = 100?

— John D,

È interessante, no? Mi ha lasciato perplesso per tutto il fine settimana :) Non penso che abbia a che fare con il reale contro l'ideale. Si fa sembra avere a che fare con l'analisi AC vs analisi DC però. Se si esegue l'analisi CA della frazione di feedback (sorgente V indipendente indipendente V_sig), produce esattamente il risultato giusto, con 90k / .909k = 100 (40dB).

— Scanny

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Per quanto riguarda la configurazione invertita, si dice: "Rf e Rin compaiono sia nelle espressioni del blocco β che Ti. Ciò riflette l'interdipendenza tra la rete di retroazione e la rete di attenuazione dell'ingresso. La modifica di una delle impedenze cambia quindi sia il segnale che il guadagno di rumore. Pertanto non è possibile modificarli separatamente modificando i valori dei componenti della rete di feedback esistenti "

Ma penso sia possibile:

Inverter con compensazione Rn