Perché viene utilizzato il quadrato medio della radice quando si calcola la potenza media e non semplicemente la media di tensione / corrente?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ dove$I_{\text{eff}}$ è la corrente effettiva. Perché il potere sia nella media,$I$ essere nella corrente media, quindi suppongo che la corrente effettiva sia la corrente media.

In tal caso, perché $I_{\text{eff}}$ non è semplicemente

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

Invece è definito così:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Pertanto, usando queste due espressioni per calcolare i risultati $P$ in risposte diverse.

Perché è così? Non ha senso per me. Posso solo supporre che sto interpretando male la corrente effettiva è la corrente media. In caso contrario, tuttavia, non vedo come $P$ possa essere la potenza media quando $I_{\text{eff}}$ non è la corrente media.

Prendi un semplice esempio in cui le somme sono banali. Ho una tensione che è attiva il 50% delle volte e spenta il 50% delle volte. È 10 V quando è acceso. La tensione media è quindi di 5 V. Se collego una resistenza di 1 ohm attraverso di essa, dissiperà 100 W quando è acceso e 0 W quando è spento. La potenza media è quindi di 50 W.

Ora lascia la tensione sempre accesa ma rendila 5V. La tensione media è ancora di 5 V, ma la potenza media è di soli 25 W. Ops.

O supponiamo che io abbia la tensione solo sul 10% delle volte, ma è 50V. La tensione media è di nuovo di 5 V, ma la potenza è di 2500 W quando è accesa e 0 W quando è spenta, quindi in media 250 W.

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In realtà per calcolare la potenza in generale devi integrare (tensione istantanea) * (corrente istantanea) in un periodo della forma d'onda per ottenere la media (o da 0 a qualche tempo t come nel tuo esempio per trovare la potenza in un intervallo) .

Se (ed è un grande if) il carico è un resistore fisso R puoi dire che v = i * R, quindi la potenza istantanea è i ^ 2 * R e quindi puoi integrare i ^ 2 nel periodo per ottenere il " RMS corrente ", e moltiplicare per R in seguito (poiché è fisso non entra nell'integrale).

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La corrente RMS non è particolarmente utile se il carico è qualcosa di non lineare come un diodo. Può essere utile per analizzare le perdite in qualcosa come un condensatore con un dato ESR. Le perdite (e il conseguente effetto di riscaldamento che accorcia la durata del condensatore) saranno proporzionali alla corrente RMS, non alla media.

Perché la potenza sia media, devo essere una corrente media, quindi suppongo che la corrente effettiva sia la corrente media.

In breve, la tensione media x la corrente media è uguale alla potenza media solo quando la tensione e la corrente sono quantità DC. Pensa al seguente esempio: -

Se si applica 230 V CA dalla presa di corrente a un elemento riscaldante, si surriscalda o addirittura si surriscalda. Sta prendendo potere per cui puoi essere fatturato. 230 V CA è un'onda sinusoidale e tutte le onde sinusoidali hanno un valore medio di zero. La corrente risultante che fluisce attraverso l'elemento riscaldante è anche un'onda sinusoidale con un valore medio di zero.

Quindi, usando la tensione media x la corrente media si ottiene una potenza media pari a zero e chiaramente questo è sbagliato. È la tensione RMS x la corrente RMS che fornirà una risposta significativa (indipendentemente dal fatto che sia DC o AC).

Devi tornare alle basi e chiederti cos'è il potere - è tensione x corrente e questi sono valori istantanei moltiplicati insieme. Ciò si traduce in una forma d'onda di potenza come questa: -

A causa dell'atto di moltiplicazione, la forma d'onda di potenza ora ha un valore medio diverso da zero . Facendo un ulteriore passo avanti, se la resistenza di carico fosse 1 ohm, l'ampiezza della corrente sarà uguale all'ampiezza della tensione applicata, quindi la potenza diventerà la media di .$v^2$

Questo ci porta a dire che la potenza è the mean of the square of voltage(o corrente) e, dato che abbiamo scelto 1 ohm in questo esempio, possiamo anche dire che la tensione effettiva che produce questa potenza è il valore square root of the mean of the voltage squaredo "RMS".

Quindi, per un'onda sinusoidale di ampiezza di picco , la parte superiore dell'onda di potenza è v 2 p k e, poiché l'onda di potenza prodotta da un'onda sinusoidale al quadrato è anche un'onda sinusoidale (al doppio della frequenza), la media il valore (medio) è: -$v_{pk}$$v^2_{pk}$

. Quindi prendendo la radice quadrata per ottenere latensioneeffettivaotteniamo$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ ovp$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

In effetti il ​​valore RMS di una tensione (o corrente) CA è il valore equivalente di una tensione (o corrente) CC che produce lo stesso effetto di riscaldamento in un carico resistivo.

Quindi no, la tensione media o la corrente media è irrilevante ma la potenza media è re.

Il diavolo è nei dettagli quando si risolve la matematica.

Dato che la potenza istantanea , la potenza media è: P avg = ¯ P inst = ¯ i 2 ⋅ R = ¯ i 2 ⋅ R = $P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

La corrente DC effettiva è quella che dissipa la stessa potenza media quindi segue: I 2 eff =

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$

$\frac{1}{T}$

In sintesi, è perché la matematica non funziona in questo modo.

La potenza media è solo l'integrale del lavoro, per un periodo di tempo finito, diviso per quel periodo di tempo. Nel tuo caso, ogni istante di lavoro è:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Quindi, lo integri per ottenere un lavoro totale per un periodo finito e poi, per convertirlo in un valore di potenza medio, lo dividi per il periodo finito. O:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R_t$

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R\cdot I_{eff}^2$

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

È solo una sostituzione equivalente, giusto?

E poi ovviamente:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

$t_0=0$$t_1=t$

Immagina che due correnti scorrano simultaneamente attraverso il tuo carico:

• Corrente DC di 1A
• Corrente AC con ampiezza 1A

La corrente totale sarà simile a questa:

$I_{eff}$

Ritenere $R=1\Omega$e una corrente di 1A per un secondo e 10A per un altro secondo. Qual è la potenza media?

Ovviamente lo è

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Riscriviamo questo:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

D'altra parte, la corrente media è di 5,5 A, che fornisce una "potenza media" di 30,25 W.

Il punto è che la formula di potenza contiene il quadrato della corrente, quindi la corrente effettiva è superiore alla media del valore assoluto della corrente.

Vorrei dirlo in termini più generali: la potenza istantanea P (t) dissipata su un carico è un prodotto (in senso matematico come moltiplicazione) di V (t) e I (t). Oppure I (t) * I (t) / R per quella materia. La potenza media è quindi una media [I (t) * I (t)] / R. Il paradosso è nel noto teorema matematico che una media di un prodotto di funzioni variabili non è uguale al prodotto delle loro medie ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

equivalentemente,

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Per illustrare questo estremo problema di calcolo di base, supponiamo di avere un carico del resistore di 1 Ohm e che la tensione sia pulsata come 10 V per il 10% di ciclo di lavoro, il 10% in su, il 90% in assenza di tensione. La potenza dissipata reale è 10 V * 10 A = 100 W per il 10% del ciclo di lavoro e zero per il resto del ciclo di lavoro. Quindi la potenza media dissipata da questo resistore è di 10 W. .

Ora, se prendi (o addirittura misuri!) Le medie separatamente usando metri separati, la media [V] di questa forma d'onda pulsata salirà come 1V e la media di I arriverà come 1A. Moltiplicando i risultati misurati, si potrebbe giungere alla conclusione che la potenza consumata da questo "dispositivo" è solo 1W, che sarà totalmente errata di un fattore 10 !!!.

Questo è un tipico errore in molte discipline e applicazioni. Ad esempio questo errore è alla base di molte affermazioni fasulle di alcuni scaldabagni magici che producono più output di "elettricità consumata" di solito spiegata da "fusione fredda", o qualche altra BS. Ci sono persino brevetti concessi su questi "riscaldatori a impulsi".