Impedenze complesse

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Cosa significa avere un'impedenza complessa?

Ad esempio, l'impedenza di un condensatore (nel dominio di Laplace?) È data da 1 / sC (credo) che equivale a dove i transitori sono trascurati. Cosa significa che l'impedenza è immaginaria? $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Sono attualmente al mio secondo anno di ingegneria elettrica all'università quindi, se possibile, apprezzerei una risposta matematicamente valida e approfondita se non ci sono troppi problemi, con il riferimento al materiale di studio (risorse web e cartacee) ideale.

Grazie in anticipo.

impedance

— JonaGik
fonte

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Non stai studiando esattamente questo nei tuoi corsi? Sicuramente hai già un libro di testo o due che approfondisce questo dettaglio. Questo è un argomento molto ampio a cui è difficile rispondere senza una domanda più specifica.

— Olin Lathrop,

Un'ulteriore risorsa

— clabacchio

Sembra che i libri di testo che presumo siano già noti dai corsi precedenti (e non ci è stato insegnato). Inoltre, i miei docenti hanno mescolato il loro ordine, quindi probabilmente ci verrà insegnato più tardi, ma non prima che ne abbiamo bisogno.

— JonaGik,

Sembra che il tuo couse abbia lasciato intatti molti argomenti, ed è molto scomodo per un corso di ingegneria ...

— clabacchio

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TL; DR La parte immaginaria dell'impedenza indica la componente reattiva dell'impedenza; questo è responsabile (tra gli altri) della differenza di fase tra corrente e tensione e la potenza reattiva utilizzata dal circuito.

Il principio di base è che qualsiasi segnale periodico può essere trattato come la somma di onde sinusoidali (a volte) infinite chiamate armoniche, con frequenze equidistanti. Ognuno di essi può essere trattato separatamente, come un segnale a sé stante.

Per questi segnali usi una rappresentazione simile a:

v (t) = V_{0} \cos (2 π f t + φ) = ℜ {V_{0} e^{j 2 π f t + φ}}

$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$

E puoi vedere che siamo già passati al dominio di numeri complessi, perché puoi usare un esponenziale complesso per rappresentare la rotazione.

Quindi l'impedenza può essere attiva (resistenza) o reattiva (reattanza); mentre il primo per definizione non influisce sulla fase dei segnali ( ) della reattanza, è quindi possibile utilizzare numeri complessi per valutare la variazione della fase introdotta dalla reattanza. $\phi$

Quindi ottieni:

V = io \cdot Z = io \cdot | Z | \cdot e^{j θ}

$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$

dove | Z | è la grandezza dell'impedenza, data da:

| Z | = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$

e theta è la fase introdotta dall'impedenza, ed è data da:

θ = \arctan (\frac{X}{R})

$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$

Quando applicato alla funzione precedente, diventa:

v (t) = ℜ {{io}_{0} | Z | e^{j 2 π f t + φ + θ}} = {io}_{0} | Z | \cos (2 π f t + φ + θ)

$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$

Consideriamo il condensatore ideale: la sua impedenza sarà che è immaginario e negativo; se lo si inserisce nella circonferenza trigonometrica, si ottiene una fase di -90 °, il che significa che con un carico puramente capacitivo la tensione sarà di 90 ° dietro la corrente. $\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Allora perchè?

Diciamo che vuoi sommare due impedenze, 100 Ohm e 50 + i50 Ohm (o, senza numeri complessi, ). Quindi con numeri complessi si somma la parte reale e immaginaria e si ottengono 150 + i50 Ohm. $70.7 \angle 45 ^\circ$

Senza usare numeri complessi, la cosa è alquanto più complicata, in quanto è possibile utilizzare coseni e seni (ma è lo stesso di usare numeri complessi allora) o entrare in un pasticcio di dimensioni e fasi. Tocca a voi :).

Teoria

Alcune nozioni aggiuntive, cercando di rispondere alle tue domande:

La rappresentazione armonica dei segnali è generalmente affrontata dalla decomposizione della serie di Fourier :

v (t) = Σ_{- \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n t}, dove c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} v (t) e^{- j n t} d t

$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$

Il complesso esponenziale è legato al coseno anche dalla formula di Eulero :

c o S (X) = \frac{e^{io X} + e^{- io X}}{2}

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

— clabacchio
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Grazie mille per la tua risposta. Per quanto riguarda la tua equazione v (t), solo per chiarire, intendi v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + ... + vn cos (2pi fn t + phi) (dal momento che il segnale può essere rappresentato come un numero forse infinito di sinusoidi di frequenze diverse)? Quindi, derivate il termine R (V0 exp (j2pift + phi)) da cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? In questo caso, dove va il termine 0,5 exp (-2pift ...)? Inoltre, nell'equazione della legge di Ohm, presumibilmente V (t) restituisce un'espressione reale ma exp (j omega) no, quindi come funziona? Grazie ancora.

— JonaGik,

MMH molte domande :). Circa il primo, non esattamente: controlla la rappresentazione della serie di Fourier, ma in teoria sono possibili anche altre decomposizioni; sull'esponenziale, sì, è l'equivalenza di Eulero. Lo stesso vale per l'ultima domanda: il complesso esponenziale dà la rotazione, ma poi prende solo la parte reale.

— clabacchio

Wow, questa è una risposta veloce! Perché viene presa solo la parte reale? Ciò non sembra matematicamente valido. Grazie ancora.

— JonaGik,

È questo ciò che mi manca? "Aexp (i omega) ... è inteso come una notazione abbreviata, che codifica l'ampiezza e la fase di una sinusoide sottostante." da en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . L'idea che la rappresentazione numerica complessa sia una scorciatoia per la rappresentazione di un angolo (fase) e una grandezza?

— JonaGik,

@JonaGik sì, è una comoda rappresentazione dei segnali sinusoidali, come dice anche la pagina wiki. Direi che ogni oggetto matematico è una scorciatoia per rappresentare o risolvere qualche problema reale ...

— clabacchio

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Sono sicuro che questo non risponderà interamente alla tua domanda, anzi spero che questo integri le risposte già date che sembrano trascurare: il concetto dietro l'uso di numeri complessi (che, come già detto, è solo un nome di fantasia per un tipo di "quantità" matematica, se vuoi).

La prima domanda principale a cui dovremmo rispondere è perché i numeri complessi. E per rispondere a questa domanda dobbiamo capire la necessità delle diverse serie di numeri, dai numeri naturali a quelli reali.

Fin dai primi anni i numeri naturali hanno permesso alle persone di contare, ad esempio, mele e arance in un mercato. Quindi sono stati introdotti i numeri interi per indirizzare il concetto "in debito" per mezzo di numeri negativi (era un concetto difficile da capire in quel momento). Ora, le cose diventano più interessanti con i numeri razionali e la necessità di rappresentare "quantità" con le frazioni. La cosa interessante di questi numeri è che abbiamo bisogno di due numeri interi e non solo uno (come con i numeri naturali e interi), ad esempio 3/8. Questo modo di rappresentare "quantità" è molto utile, ad esempio per descrivere il numero di fette (3) rimaste in una torta a 8 fette, quando 5 erano già state mangiate :) (non si poteva fare questo con un numero intero!).

Ora, saltiamo i numeri irrazionali e reali e andiamo ai numeri complessi. Gli ingegneri elettronici hanno affrontato la sfida di descrivere e far funzionare un diverso tipo di "quantità", la tensione sinusoidale (e la corrente) in un circuito lineare (cioè costituito da resistori, condensatori e induttori). Indovina un po ', hanno scoperto che i numeri complessi erano la soluzione.

$\omega$ $\phi$

y (t) = UN \cdot S io n (ω t + φ)

$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$

$\omega$

$\frac{1}{j \omega C}$

AGGIORNARE

Ci sono anche alcune note che consiglio vivamente di leggere, "Un'introduzione all'analisi complessa per ingegneri" di Michael D. Alder. Questo è un approccio molto amichevole all'argomento. In particolare, raccomando il primo capitolo.

— gmagno
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L'uso di numeri complessi è un modo matematico di rappresentare sia i componenti in fase che quelli fuori fase - la corrente rispetto alla tensione. L'impedenza immaginaria non significa che l'impedenza non esista, significa che la corrente e la tensione sono sfasate l'una con l'altra. Allo stesso modo una impedenza reale non significa reale nel senso quotidiano, solo che la corrente è in fase con la tensione.

— balestruccio
fonte

Comprendo queste idee concettualmente, mi stavo solo chiedendo come funzioni effettivamente un'impedenza complessa: qual è la ragione matematica per cui è complessa e come viene derivata?

— JonaGik,

@JonaGik dove mancava la mia risposta? Pensavo stesse rispondendo a questa ragione matematica ...

— clabacchio

È giusto? L'idea che la rappresentazione numerica complessa sia una scorciatoia per la rappresentazione di un angolo (fase) e una grandezza? Quindi quando interpretiamo un'impedenza complessa riteniamo che rappresenti semplicemente il ritardo di fase e la grandezza?

— JonaGik,

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Le descrizioni sotto SEEK per demitologizzare cosa si intende per quantità "complesse" in un contesto RCL. I concetti di componenti "immaginari" sono un'utile metafora che tende ad accecare le persone alle semplici realtà sottostanti. Il testo che segue parla in termini di RC e non tocca i misteri di LC che in realtà non sono più misteriosi nella realtà.
Sarebbe di grande beneficio per te fare del tuo meglio per affrontare la maggior parte dei punti sollevati usando un libro di testo o un motore di ricerca su Internet prima di cercare spiegazioni da parte degli altri PERCHÉ questa domanda è così fondamentale per le basi dei circuiti AC con reattivo componenti. Affrontare domande difficili stabilisce una precedenza su come affrontare cose simili durante la tua istruzione e Internet ha probabilmente milioni di pagine che trattano questo argomento (Gargoyle dice ~ = 11 milioni ma chi può dirlo?). Il grado di dettaglio e completezza che chiedi è irrealistico da un sito come questo dato l'enorme quantità di dettagli "là fuori". (A meno che i proprietari del sito non stiano tentando di replicare un sottoinsieme di Wikipedia).

Quindi - immagino che aiutarti a capire meglio le basi è una buona idea in modo che tu possa prenderlo e correre da lì. Così ...

Se si collega un terminale di ingresso a un resistore serie ad un condensatore e l'altro condensatore è "messo a terra" si ottiene un circuito RC serie:
Vin - resistore - condensatore - terra.

Se ora si applica una tensione di passo all'ingresso, la corrente del condensatore farà un passo per adattarsi ma il condensatore inizierà a caricarsi usando questa tensione per produrre corrente nel resistore. L'aumento di tensione sarà esponenziale perché la corrente che fluisce nel condensatore sarà assorbita da Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. cioè quando Vcap aumenta il potenziale attraverso la resistenza diminuisce e quindi la corrente diminuisce. In teoria, Vcap impiegherà un tempo infinito a raggiungere Vin, ma in pratica è più o meno "lì in circa 3 costanti di tempo in cui
t = RC = il tempo impiegato da Iin a scendere all'1 / e del suo valore iniziale. Cosa e perché del termine 1 / e che già conosci o farai dopo aver letto i riferimenti.

ORA, se applichiamo un segnale ad onda quadra, il condensatore si carica come sopra quando l'ingresso è positivo e si scarica in modo esponenziale simile quando l'ingresso è collegato a terra o negativo. Mentre la corrente del condensatore seguirà Vin e sarà massima quando Vin transita alto / basso o basso alto, la tensione del condensatore, per i motivi sopra descritti, sarà in ritardo rispetto alla tensione di ingresso. Una volta raggiunto lo stato stazionario, se tracciate Vcap e I cap troverete due forme d'onda sfalsate fino a quasi 90 gradi o fino a quasi gradi in cui un intero ciclo di input = 360 gradi. Quanto la tensione del condensatore è in ritardo rispetto alla sua corrente dipende dalla frequenza di ingresso e dalla costante di tempo RC.

A chi non lo sapesse questo può sembrare magia (o l'uso della tiotimolina *), con una forma d'onda corrente che si verifica fino a 1/4 di un ciclo prima della sua tensione, ma questo è solo perché la ragione logica di ciò, come spiegato sopra, non è necessariamente intuitivamente ovvio all'ispezione.

Se inizi a combinare condensatori, resistori e induttori in vari modi, devi essere in grado di affrontare matematicamente le fasi relative delle varie forme d'onda. [Alla prima introduzione può sembrare che i phaser siano impostati per stordire].

Qualche figura competente, o uno sguardo furtivo ad alcuni dei circa 10 milioni di pagine web sull'argomento, indicherà che dove hai due forme d'onda che variano in relazione di fase si inviano l'una all'altra e che si basano su una relazione esponenziale reciproca, allora ogni forma d'onda può essere rappresentata da una rappresentazione polare della forma [R, Theta] che in termini può essere rappresentata come un numero complesso che ha componenti X e Y che riflettono la forma polare.

Il "vettore" polare che rappresenta la relazione di tensione e corrente in una data situazione utilizza una "metafora" del braccio rotante di vettore che fornisce la lunghezza del braccio e l'angolo di fase rispetto a un riferimento. Questa "metafora" può essere sostituita da un componente X e Y in cui l'entità della forma polare è data da R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) e il cui angolo theta è dato dall'abbronzatura ^ -1 (X / Y ). Questo può essere visto in forma schematica di seguito.

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Da qui

ATTENZIONE : non lasciarti ingannare dalla terminologia.

Si noti che il termine "numero complesso" è semplicemente gergo. L'uso di sqrt (-1) è una parte utile della metafora che consente all'aritmetica di funzionare MA le quantità effettive coinvolte sono del tutto reali e "ordinarie". Quando vengono utilizzati elementi reattivi come induttori e condensatori, la potenza non sarà più semplicemente il prodotto dei termini di grandezza nei vettori di tensione e corrente. cioè il potere di V.sin (fred) x I.sin (Josepine) non (di solito) = VI. Ciò non implica nulla di speciale, magico, complesso o immaginario sulle variabili coinvolte: è solo che sono una variante temporale e le loro magnitudini di picco di solito non coincidono.

Letture extra - altamente raccomandato:

Impedenza elettrica

Circuito RC

Circuito LC

Calcolatore di impedenza complessa

I Asimov.

— Russell McMahon
fonte

@Kortuk - La stragrande maggioranza di quanto sopra era stato scritto prima della mia risposta scritta iniziale, ma in quella fase non l'ho postato, ma potrebbe essere stato aggiunto a tempo debito se controllato meglio. Come saprai, spesso aggiungo grandi tranche di materiale ai post iniziali. Nel suo caso il tuo approccio alla carota e al bastone (senza carota) era piuttosto demotivazionale, ma sembra un peccato lasciare che gli stili motivazionali mal indirizzati ottengano i loro effetti più normali. Alcuni rispondono abbastanza bene ai delicati risvolti intorno all'orecchio, ma non la maggior parte, l'ho trovato. Alcuni qui non sono d'accordo :-).

— Russell McMahon,

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Esprimere capacità e induttanza come resistenze immaginarie ha il vantaggio di poter usare metodi ben noti per risolvere problemi lineari con resistori per risolvere problemi lineari con resistori, condensatori e induttori.

Tali problemi lineari e i loro metodi ben noti sono ad esempio

Problema: calcolo della resistenza di due resistori in serie
Metodo: R = R1 + R2
può essere utilizzato anche per il calcolo dell'impedenza del resistore / condensatore / induttore in serie con un altro resistore / condensatore / induttore
Problema: calcolo della resistenza di due resistori in parallelo
Metodo: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
può essere utilizzato anche per il calcolo dell'impedenza del resistore / condensatore / induttore in parallelo con un altro resistore / condensatore / induttore
Problema: risoluzione di una rete contenente resistori, tensione CC e sorgenti di corrente CC
Metodo: la risoluzione di un sistema simultaneo di equazioni lineari
può essere utilizzato anche per risolvere una rete contenente resistori, condensatori, induttori, tensione CA o CC e fonti di corrente CA o CC
eccetera.

Tutte quelle formule / metodi che funzionano con valori di resistenza reali (solo resitatori) e sorgenti CC funzionano altrettanto bene con valori complessi (resistori, induttori, condensatori) e fonti CA.

— Cagliata
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Sebbene non ci sia necessariamente una ragione intuitiva per cui l'uso di numeri complessi per rappresentare una combinazione di segnali in fase e fuori fase dovrebbe essere utile, si scopre che le regole aritmetiche per i numeri complessi si adattano molto bene al comportamento reale e interazione di resistori, condensatori e induttori.

Un numero complesso è la somma di due parti: la parte reale e una parte "immaginaria", che può essere rappresentata da un numero reale moltiplicato per i , che è definito come la radice quadrata di -1. Un numero complesso può essere scritto nella forma A + Bi , con A e B come numeri reali. Si possono quindi usare le regole dell'aritmetica polinomiale per agire su numeri complessi trattando i come una variabile, ma si può anche sostituire i² con -1 (quindi ad esempio il prodotto di Pi × Qi è -P × Q).

Ad ogni particolare frequenza, si può determinare come si comporterà una rete di resistori, induttori e condensatori calcolando l'impedenza effettiva di ciascun elemento e quindi usando la legge di Ohm per calcolare la resistenza effettiva di combinazioni in serie e parallele e le tensioni e le correnti attraverso loro. Inoltre, poiché resistori, condensatori e induttori sono tutti dispositivi lineari, si può calcolare come si comporterà la rete quando si iniettano combinazioni di frequenze calcolando cosa faranno con ciascuna frequenza particolare e quindi sommando i risultati. L'aritmetica complessa può essere molto utile quando si cerca di analizzare il comportamento di cose come i filtri, poiché consente di calcolare l'output del filtro in funzione dell'input. Fornito un segnale di input di un numero reale vvolt ad una certa frequenza f , si può calcolare la tensione o la corrente in qualsiasi nodo particolare; la parte reale sarà in fase con la forma d'onda iniettata e la parte immaginaria sarà sfasata di 90 gradi. Invece di dover usare equazioni differenziali elaborate per risolvere il comportamento del circuito, si può aritmetica relativamente semplice con numeri complessi.

— Supercat
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Numeri complessi sono usati nell'ingegneria elettrica per quantità che hanno una grandezza e una fase. L'impedenza elettrica è il rapporto tra corrente e tensione. Per correnti e tensioni CA, le forme d'onda di corrente e tensione potrebbero non essere in fase; la fase dell'impedenza indica questa differenza di fase.

— nibot
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Perché il voto negativo?

— nibot