S = VI * / 2 derivazione

Mi chiedevo dove avrei potuto trovare la derivazione per la formula di potenza complessa, S = VI * / 2, dove S, V e I sono phaser complessi.

Ho visto un sacco di verifiche in cui le persone inseriscono elementi nell'equazione per dimostrare che succede.

Ecco cosa so finora, se e e , allora e e S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— user968243
fonte

Dovrai definire S, V, I e qualunque cosa "* /" dovrebbe significare.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, sono I * per il coniugato complesso di I (corrente) e diviso per due, poiché sono entrambe onde sin (V e I *), quindi hanno entrambe la loro conversione RMS.

— Kortuk,

Sia V che I la tensione e la corrente istantanee su un carico. Dalla definizione di potenza, tensione e corrente, abbiamo la relazione per la potenza istantanea:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Ciò significa che la potenza di un dato istante è uguale al prodotto della tensione e della corrente esattamente in quell'istante. $t$

Presumo che tu abbia familiarità con il significato reale della rappresentazione phasor. Giusto per dirlo in breve: un phasor è una scorciatoia matematica per rappresentare una sinusoide a una data frequenza sconosciuta.

Quindi, è una scorciatoia per . Allo stesso modo: significa . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Moltiplicando per tutte le , ci dà la forma d'onda della potenza istantanea per ogni . Lavorando su quella moltiplicazione: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Come , con and , possiamo semplificare l'equazione sopra per: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Questa forma d'onda è piuttosto interessante per se stessa: è un valore costante sommato da una sinusoide . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Ciò dimostra chiaramente che la potenza istantanea non è costante nel tempo.

Sulla base di quel risultato, possiamo vedere che la potenza media è uguale alla componente non variabile di (è abbastanza semplice dimostrare che matematicamente, si deve solo risolvere l'integrale ) $s(t)$ $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Motivato da questo risultato e dalla piuttosto dolce interpretazione geometrica di , quel valore è stato definito come il potere reale , cioè il potere che è effettivamente consegnato a il carico. Ora sai che questo cosiddetto potere reale non è altro che la potenza media al carico. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Tuffarsi un po 'in questo concetto (è un peccato che non posso disegnare qui, ma ci proverò):

Sia v un vettore con magnitudo || v || e fase , e io sono un vettore di magnitudo || i || e fase Se moltiplichi || i || da hai la proiezione di i su v . D'altra parte, si dice che sia il componente di i in quadratura con v . $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

Ora puoi capire perché la potenza media ha una bella interpretazione geometrica: la potenza media è la tensione moltiplicata per la proiezione della corrente sulla tensione, nello spazio dei fasori.

Ciò ha motivato la creazione del potere complesso S come:

S = P + jQ

Con questa definizione, la parte reale del vettore è esattamente la potenza media erogata al carico e la parte complessa è la potenza che si dice sia in quadratura , chiamata potenza reattiva (google per Power Triangle per vedere l'interpretazione geometrica di questo risultato) .

Ok, ora tornando alla definizione , vediamo che e , per definizione, e per rispettare la definizione di S, è uguale a $s(t)$ $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Quindi, come volevamo dimostrare all'inizio:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Quindi, ecco qua quello che volevi vedere;)

modifica : qual è l'interpretazione fisica di Q?

Ho mostrato sopra qual è l'interpretazione fisica della parte reale della potenza complessa, P, cioè la potenza media erogata al carico. Ma cos'è esattamente Q, come si può visualizzarlo? Si basa sul fatto che cos e sin sono ortogonali e il principio di sovrapposizione può essere applicato al potere se le due forme d'onda coinvolte nel calcolo sono ortogonali. Andiamo in matematica, perché è davvero ciò che conta.

Utilizzando il risultato ottenuto sopra: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Primo caso: carico puramente resistivo, in modo che

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Questa è una sinusoide centrata su con la stessa ampiezza (il suo valore minimo è 0 e il suo valore massimo è ). Chiamiamolo P $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

Secondo caso: carico puramente induttivo, in modo che

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Questa è una forma d'onda puramente oscillatoria con valore medio pari a 0. chiamata Let questo risultato Q .

Terzo caso: il caso generico

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

In questo caso, s (t) è esattamente l'equazione generale che abbiamo trovato nella discussione sopra. Ma possiamo riscriverlo per sfruttare il risultato dei due casi precedenti, in questo modo:

Innanzitutto, riscriviamo l'equazione in termini di (si noti che ): Sapendo che: , lasciando e $\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Riorganizzare i termini:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Utilizzando il risultato dei due primi casi precedenti:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Un risultato straordinario, vero? Cosa significa?

Torniamo a ciò che stiamo facendo: calcolare la potenza per il caso generico in cui , ovvero risolvendo l'equazione: $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Possiamo riscrivere nella forma di ? $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

Proviamo:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \ $

Lasciando e $\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

Con la relazione:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

Abbiamo:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Proprio quello che volevamo, riscrivere i (t) come una somma di due componenti: uno in fase con v (t) e uno in quadratura con v (t)!

Ora il risultato del caso 3 può essere spiegato: i (t) può essere scomposto in due componenti, come mostrato sopra, e la potenza generata da i (t) è uguale alla potenza generata da ciascuno di questi componenti singolarmente . Whoa, proprio come la sovrapposizione ma per il potere! ( Ricorda che questo è solo vero, ed è stato dimostrato sopra, perché cos e sin sono ortogonali )

Quindi Q è la quantità di energia generata dal componente di i (t) che è in quadratura con v (t). È puramente oscillatorio e non ha valore medio.

P è la quantità di energia generata dal componente di i (t) che è in fase con v (t). È oscillatorio ma ha un valore medio uguale alla potenza media erogata al carico.

E la potenza complessa S , la potenza totale, è esattamente la somma di questi due componenti

— Castilho
fonte

Grazie per il tuo buon espianto! Ho alcune domande però: 1. Non seguo cosa è successo a . Pensavo che questo termine fosse il potere reattivo, Q; tuttavia, . 2. Non capisco come sei passato da tp . È come se fosse un fasore, ma è solo una costante. Grazie ancora per la tua risposta!

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

— user968243

Sì. hai ragione, NON è Q. La potenza reattiva è definita solo in termini di differenza di fase tra tensione e tensione, ed è un valore direttamente correlato alla definizione di S come un fasore. È la potenza che verrebbe erogata dalla corrente in quadratura con la tensione. Il componente che varia nel tempo non viene preso in considerazione, perché in questo senso ciò che conta davvero è la potenza media al carico. La parte variabile ESISTE, è davvero lì (guarda una lampadina a incandescenza, per esempio), ma, nel tempo, la potenza è legata solo alla parte statica di s (t). ;)

— Castilho il

Ok, quindi questa parte variabile ha un nome speciale? Ad ogni modo, quindi se lo capisco correttamente, la quantità di I nella direzione di V è la potenza reale, e la quantità di I, perpendicolare a V è la potenza complessa.

— user968243

quasi ciò, la quantità di I nella direzione di V moltiplicata per V è la potenza reale P, la quantità di I perpendicolare a V moltiplicata per V è la potenza REATTIVA Q, P + jQ è la potenza complessa o potenza apparente;)

— Castilho,

Va bene, ha senso! In realtà nel mio commento precedente, mi chiedevo quale fosse il nome per questo: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Pensavo davvero che fosse il potere reattivo ... Grazie per i tuoi dubbi, sono grato!

— user968243