Come analizzare questo circuito nel dominio del tempo e della frequenza?

Mi sono imbattuto in questo circuito in un altro post e ho iniziato a guardare il filtro dell'amplificatore operazionale e come applicare l'analisi tradizionale del circuito (usando 1 / jwc per i condensatori) e non sono riuscito a ricavare la funzione di trasferimento.

Domanda: come ricaveremo la funzione di trasferimento per la topologia del filtro? Ignora il filtro HP sul terminale V + e ignora i componenti oltre (e incluso) il diodo zener. Usa i nomi generici, C1, R1, ecc.

assumiamo Vin = V + e vogliamo trovare Vo = output di OpAmp.

Mentre formulavo la mia risposta a quella domanda, ho analizzato quel circuito in dettaglio. Sembra un filtro passa-banda standard del secondo ordine, ma utilizzato in una configurazione senza inversione. Dal momento che un amplificatore non invertente non può avere un guadagno inferiore a 1, ero incuriosito dal sapere quale sarebbe stata la sua risposta.

La forma della funzione di trasferimento è:

$\dfrac{V_o}{V_{in}} = \dfrac{\mathrm s^2+a\mathrm s+\omega_0^2}{\mathrm s^2+b\mathrm s+\omega_0^2}$

Puoi fare qualche ispezione rimuovendo o cortocircuitando mentalmente i condensatori da cui è evidente che i guadagni di LF e HF saranno 1 come prevede l'equazione.

OK, ecco qui:

$\omega$

Chiamando la tensione su R18, C5 C1 giunzione Vx e sommando le correnti in quel nodo otteniamo: -

$\dfrac{0-V_x}{R}+\dfrac{V_{in}-V_x}{\dfrac{1}{\mathrm sC}}+\dfrac{V_{out}-V_x}{\dfrac{1}{\mathrm sC}}= 0$

$V_x.(\dfrac{1}{R}+2\mathrm sC)=(V_{in}+V_o).\mathrm sC$

$V_x=\dfrac{(V_{in}+V_o).\mathrm sC}{\dfrac{1}{R}+2\mathrm sC}$

Ora la tensione all'ingresso invertente di U1 è Vin (se il circuito è stabile!) E sommando la corrente su questo nodo otteniamo: -

$\dfrac{V_x-V_{in}}{\dfrac{1}{\mathrm sC}}+\dfrac{V_o-V_{in}}{kR} = 0$

$V_o=V_{in}.(1+\mathrm skRC)-V_x\mathrm skRC$

Sostituendo Vx, otteniamo: -

$\dfrac{V_o}{V_{in}}=\dfrac{1+\mathrm skRC-\dfrac{\mathrm s^2kR^2C^2}{1+2\mathrm sRC}}{1+\dfrac{\mathrm s^2kR^2C^2}{1+2\mathrm sRC}}$

$\dfrac{V_o}{V_{in}}=\dfrac{\mathrm s^2+\mathrm s.\dfrac{2+k}{kRC}+\dfrac{1}{kR^2C^2}}{\mathrm s^2+\mathrm s.\dfrac{2}{kRC}+\dfrac{1}{kR^2C^2}}$

(La trama per questo corrisponde esattamente al grafico di Telaclavo.)

Ora possiamo vedere che la frequenza naturale è data da: -

$\omega_0 = \dfrac{1}{RC\sqrt k}$$f_0$

$\mathrm s^2+\omega_0^2=0$

$G_{max}=\dfrac{2+k}{2}=201.8$

Per quanto riguarda il dominio del tempo, poiché abbiamo una trasformata di Laplace, possiamo semplicemente prenderne l'inverso per ottenere la risposta all'impulso. Nel tradizionale stile del libro di testo dirò semplicemente che questo è lasciato come esercizio per lo studente (cioè troppo dannatamente duro :)

Circuito equivalente:

Applica KCL ai due nodi in cui ho definito Vx e Vi. Risolvi per Vo in queste due equazioni simultanee. Crea VGND = 0 per la risposta CA. Vedi i dettagli qui .

Risultati: la risposta in frequenza di H (s) = Vo (s) / Vi (s) è

Il picco è a 14,5 kHz e lì il guadagno è 202.