Perché un circuito RC non cambia la forma di un seno in ingresso?

Nella foto sopra, l'onda quadrata rossa è l'ingresso e l'onda blu è l'uscita di un circuito RC. Non riesco a capire perché ottengo un'onda sinusoidale perfetta quando alimento un'onda sinusoidale come input. Il condensatore deve impiegare del tempo per caricare e scaricare. Quindi la mia intuizione pianifica che l'output sia un'onda periodica il cui periodo è metà dell'input. Qualcuno potrebbe chiarire questo per me? Grazie!

Nel dominio del tempo non dovrebbe fare qualcosa del genere?
A t = 0, il condensatore ha tensione 0. Poiché la tensione di ingresso è grande, il condensatore continua a caricarsi e incontra l'onda sinusoidale di ingresso quando cade.

Quindi la tensione di ingresso scende al di sotto della tensione del condensatore, quindi il condensatore inizia a scaricarsi e incontra nuovamente l'onda sinusoidale di ingresso quando aumenta.

Impara a pensare nello spazio delle frequenze. Questa è una di quelle cose che è difficile vedere nel dominio del tempo, ma cade bene nel dominio della frequenza.

Un'onda sinusoidale è una singola frequenza "pura". Un filtro RC è un sistema lineare che non può distorcere, il che significa che non può creare frequenze nell'output che non sono nell'input. Quando si inserisce solo una frequenza, l'uscita può contenere solo quella frequenza. Le uniche domande sono quali saranno l'ampiezza relativa e lo sfasamento da input a output.

Il motivo per cui un'onda quadra in entrata non provoca un'onda quadra in uscita è perché un'onda quadrata contiene molte frequenze. Ognuno di questi può essere attenuato e sfasato indipendentemente. Quando si modificano la forza relativa e le fasi delle armoniche, si ottiene un segnale dall'aspetto diverso nel dominio del tempo.

Un'onda quadra può essere pensata come la sovrapposizione di una serie infinita di seni. Queste sono affatto le armoniche dispari (multipli interi dispari della frequenza fondamentale). L'ampiezza di queste armoniche cade a frequenze più alte.

È possibile passare un'onda quadra attraverso diversi filtri passa-basso RC in successione, ciascuno con una frequenza di rolloff ben al di sotto di quella della frequenza d'onda quadra. Dopo ogni filtro, il risultato sembra sempre più un seno. Questo perché tali filtri attenuano le alte frequenze più di quelle basse. Ciò significa che le armoniche dell'onda quadra vengono attenuate più del fondamentale. Se lo fai abbastanza, le armoniche hanno un'ampiezza così piccola rispetto al fondamentale, che tutto ciò che vedi è il fondamentale. Questa è una singola frequenza, quindi un seno.

aggiunto

Non è così che reagirebbe qualsiasi filtro RC:

Per un filtro passa basso RC, quando la frequenza di ingresso è ben al di sotto del rolloff, l'uscita segue per lo più solo l'ingresso. A ben al di sopra della frequenza di rolloff, l'uscita è l'integrale dell'ingresso.

Ad ogni modo, non ci saranno cambiamenti improvvisi nella pendenza di uscita mentre si mostra. Non c'è nulla di speciale nell'incrocio dell'ingresso sopra o sotto l'uscita poiché ciò avviene senza intoppi. Ottieni un punto di flesso nell'output, ma è una gobba liscia poiché l'input si avvicina senza problemi prima e se ne va senza problemi dopo.

Potrebbe essere istruttivo scrivere un loop per simularlo da soli. Tutto quello che devi fare ogni passaggio è cambiare l'output di una piccola frazione della differenza istantanea dell'input meno l'output. Questo è tutto. Quindi lancia un'onda sinusoidale verso di essa e osserva come l'output segue senza problemi per creare un altro seno, sebbene in ritardo di fase e inferiore in ampiezza.

Ricordare che la velocità di variazione della tensione del condensatore dipende dalla differenza di tensione tra la tensione di ingresso e la tensione del condensatore. Il tuo grafico non rappresenta questo.

Quando l'ingresso e il condensatore sono a 0 V e l'ingresso inizia a salire, la tensione del condensatore dovrebbe iniziare a salire lentamente, poiché anche la tensione di ingresso (e quindi la differenza di tensione) è piccola.

Quando l'ingresso raggiunge un picco, la differenza di tensione è al massimo e qui la tensione del condensatore aumenta più rapidamente. Quando la tensione di ingresso inizia a scendere, anche la velocità di carica del condensatore diminuisce. Dopo che le due tensioni si sono incontrate, la differenza è di nuovo piccola per cominciare, quindi anche la velocità di scarica è piccola. A quanto pare, ciò si traduce in un'altra onda sinusoidale.

Il grafico seguente è stato simulato (con un foglio di calcolo) con la regola sopra menzionata. La differenza di tensione tra la tensione di ingresso e quella del condensatore è leggermente maggiore prima del picco della tensione di ingresso.

Si noti che il grafico mostra anche che la tensione del condensatore non torna a zero a , ma rimane al di sotto di esso. Ciò è coerente con la tensione del condensatore spostata in fase rispetto all'ingresso, è solo che ci vuole del tempo per raggiungere uno stato stabile dopo che entrambe le tensioni sono iniziate da zero.$2\pi$

Nel tuo grafico, il condensatore si scarica più velocemente subito dopo che le due tensioni si incontrano, ma non è lì che la differenza di tensione è al massimo. Con un ingresso ad onda quadra, lo sarebbe, poiché la tensione di ingresso non cambierebbe di nuovo fino a quando un altro "gradino" nell'onda quadra. Un ingresso sinusoidale tuttavia cambia costantemente.

Otterrai un'onda sinusoidale da un'onda sinusoidale se la costante di tempo RC consente al condensatore di caricarsi / scaricarsi alla stessa velocità o più velocemente al variare della forma d'onda di ingresso.

La forma d'onda di uscita sarà ritardata dal condensatore che si carica e scarica leggermente dietro le modifiche alla forma d'onda di ingresso, denominata ritardo di fase.

Troverai un sacco di teoria e matematica dietro di essa su Internet, se non l'hai già.

Per me, il dominio del tempo qui è più esplicativo. Se guardi il tuo primo grafico, vedi ciò che appare come una funzione di passaggio (per il primo semestre). Cioè, improvvisamente applichi una tensione, quindi la mantieni costante. Ciò significa che il condensatore proverà a raggiungere la tensione applicata secondo le proprie leggi, qui nella forma 1-exp(-x).

Se, d'altra parte, applichi un'onda sinusoidale, per lo stesso semestre non hai più un forte aumento di tensione e non rimane costante: aumenterà sempre più lentamente, fino a raggiungere un picco, quindi diminuirà sempre più velocemente, sommariamente attorno al suo picco. Ciò significa che il condensatore si carica prima, sempre più lentamente, quindi si scarica, sempre più velocemente. Quello che hai disegnato è il risultato di (almeno) una carica continua; anche il seno si scarica.

Se aiuta, pensa alla funzione del passo come una somma di tutti i (dispari) seni , mentre un seno è, beh, solo un seno. Poiché il tuo RCè un filtro passa-basso, lascerà passare solo i seni a bassa frequenza, rifiutando quelli più alti. Se pensi anche in termini di , inizia a diventare più chiaro.$\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$